Matematyka.pl

O generatorze (zbiorze generującym) mówi się w różnych kontekstach (np. grupy, pierścienia, algebry, ideału, modułu itp.) ale czy jest rozwinięta jakaś "ogólna teoria generatorów", która by postulowała "ogólne własności" pod które podpadałyby generatory różnych tworów/struktur? Teoria kategorii o to zahacza, a jeśli tak, to w jakim stopniu?

Szukałbym w rozmaitościach algebraicznych. Intuicyjnie potrzebna jest przestrzeń zbiorów zamknięta na jakieś funkcje przeprowadzające \(\displaystyle{ F \colon A \times A \to A }\).
Potem definiujemy przestrzeń generowaną na zbiorze B, jako suma wszystkich zbiorów postaci \(\displaystyle{ F(B \times B) , F^{2}(B \times B).... }\).
Oczywiście wymiar iloczynu kartezjańskiego może być dowolny.

Wspólnym uogólnieniem wszystkich podanych przez Ciebie struktur jest algebra, czyli para \(\displaystyle{ (A, \mathcal{F})}\), gdzie \(\displaystyle{ A}\) jest dowolnym zbiorem a \(\displaystyle{ \mathcal{F}}\) jest zbiorem funkcji \(\displaystyle{ A^n \to A}\) dla \(\displaystyle{ n \in \NN}\). Podzbiór \(\displaystyle{ B \subseteq A}\) nazywa się podstrukturą, jeśli jest zamknięty na wszystkie funkcje, tj. gdy dla każdej funkcji \(\displaystyle{ f \in \mathcal{F}}\), \(\displaystyle{ f : A^n \to A}\) i dla każdych \(\displaystyle{ b_1, \ldots, b_n \in B}\) mamy \(\displaystyle{ f(b_1, \ldots, b_n) \in B}\). Podstrukturą \(\displaystyle{ A}\) generowaną przez zbiór \(\displaystyle{ X \subseteq A}\) nazywa się najmniejszą podstrukturę \(\displaystyle{ A}\) zawierającą \(\displaystyle{ X}\), i oznacza się ją \(\displaystyle{ \left< X \right>}\). Wprost:

\(\displaystyle{ \left< X \right> = \bigcap \{ B \subseteq A : X \subseteq B \text{ i } B \text{ jest podstrukturą } A \} \\[1ex]
\left< X \right> = \{ \tau(x_1, \ldots, x_n) : x_1, \ldots, x_n \in X \text{ i } \tau \text{ jest termem w języku } \mathcal{F} \}}\)

Mówi się, że podzbiór \(\displaystyle{ X}\) generuje \(\displaystyle{ A}\), gdy \(\displaystyle{ A = \left< X \right>}\).

Jeśli o to Ci chodziło, to raczej nie ma żadnych głębokich i ogólnych rezultatów dotyczących generatorów - to po prostu narzędzie, takie jak baza przestrzeni liniowej.