Matematyka.pl

Witam! Mam problem z naszkicowaniem funkcji \(\displaystyle{ f(x)= 3 ^ { \frac{5}{\pi} \arctg x}. }\) Czy ma ktoś jakiś pomysł jak się za to zabrać?

Musisz połączysz kilka faktów:

\(\displaystyle{ \bullet}\) dziedziną funkcji \(\displaystyle{ f}\) jest zbiór \(\displaystyle{ \RR}\),

\(\displaystyle{ \bullet}\) dla \(\displaystyle{ x=0}\) dostajemy \(\displaystyle{ f(0)=1}\)

\(\displaystyle{ \bullet}\) miejsc zerowych nie ma co więcej \(\displaystyle{ f(x)>0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x}\),

\(\displaystyle{ \bullet}\) dla dużych dodatnich \(\displaystyle{ x}\) zachodzi \(\displaystyle{ f(x) \approx 3^{ \frac{5}{2} }}\) co formalnie sprawozda się do badania asymptoty,

\(\displaystyle{ \bullet}\) dla "dużych ujemnych" \(\displaystyle{ x}\) to znaczy gdy \(\displaystyle{ x \rightarrow - \infty }\) to funkcja przypomina \(\displaystyle{ f(x) \approx 3^{- \frac{5}{2} }}\),

\(\displaystyle{ \bullet}\) funkcja jest rosnąca bo jest złożeniem funkcji rosnącej z rosnącą

\(\displaystyle{ \bullet}\) zbiorem wartości jest \(\displaystyle{ \left(3^{- \frac{5}{2} },3^{ \frac{5}{2} } \right) }\)

Uogólnijmy to, co powiedział Janusz Tracz. Musisz po prostu zbadać tę funkcję, czyli
1. Określić dziedzinę.
2. Znaleźć miejsca zerowe.
3. Znaleźć miejsca przecięcia wykresu z osią \(\displaystyle{ OY}\).
4. Policzyć granice na krańcach przedziałów określoności.
5. Zbadać, czy istnieją asymptoty poziome, pionowe i ukośne.
6. Zbadać, czy istnieją ekstrema.
7. Określić monotoniczność funkcji.
8. Określić wklęsłość i wypukłość funkcji.

I wreszcie narysować wykres.

Aha, warto jeszcze określić parzystość funkcji, bo jeśli się okaże, że jest parzysta albo nieparzysta (a może być ani taka, ani taka), można ograniczyć jej badanie do połowy dziedziny (dlaczego?).