Podzielność przez 2000
: 11 paź 2020, o 15:15
Hej, nie mogę nigdzie znaleźć rozwiązania do zadania to napiszę tutaj.
Wykaż, że wyrażenie \(\displaystyle{ 101^{8} + 3 \cdot 101^{4} - 4}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 2000}\).
\(\displaystyle{ t = 101^{4}}\)
\(\displaystyle{ t^{2} + 3t - 4 = 0}\)
\(\displaystyle{ t_1 = 1}\)
\(\displaystyle{ t_2 = -4}\)
\(\displaystyle{ (t-1)(t+4) = (101^{4}-1)(101^{4}+4) = }\)
\(\displaystyle{ (101^{2}-1)(101^{2}+1)(101^{4}+4) = }\)
\(\displaystyle{ (101-1)(101+1)(101^{2}+1)(101^{4}+4) }\)
\(\displaystyle{ (101-1)(101+1) = 10200}\)
\(\displaystyle{ 101^{2} + 1 = 2k, k \in C }\)
\(\displaystyle{ 101^{4} + 4 = 5n, n \in C }\)
\(\displaystyle{ 10200 \cdot 2k \cdot 5n}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 2000}\).
Czy to jest poprawne rozwiązanie do tego zadania? Czy potrzebny jest jakiś dłuższy komentarz?
Wykaż, że wyrażenie \(\displaystyle{ 101^{8} + 3 \cdot 101^{4} - 4}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 2000}\).
\(\displaystyle{ t = 101^{4}}\)
\(\displaystyle{ t^{2} + 3t - 4 = 0}\)
\(\displaystyle{ t_1 = 1}\)
\(\displaystyle{ t_2 = -4}\)
\(\displaystyle{ (t-1)(t+4) = (101^{4}-1)(101^{4}+4) = }\)
\(\displaystyle{ (101^{2}-1)(101^{2}+1)(101^{4}+4) = }\)
\(\displaystyle{ (101-1)(101+1)(101^{2}+1)(101^{4}+4) }\)
\(\displaystyle{ (101-1)(101+1) = 10200}\)
\(\displaystyle{ 101^{2} + 1 = 2k, k \in C }\)
\(\displaystyle{ 101^{4} + 4 = 5n, n \in C }\)
\(\displaystyle{ 10200 \cdot 2k \cdot 5n}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 2000}\).
Czy to jest poprawne rozwiązanie do tego zadania? Czy potrzebny jest jakiś dłuższy komentarz?