Każdy liniowy porządek można rozszerzyć do porządku gęstego
: 5 paź 2020, o 20:17
Mam problem z udowodnieniem tego faktu, czyli jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le \right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, to istnieje zbiór \(\displaystyle{ Y\supset X}\) oraz liniowy porządek \(\displaystyle{ \le^{*}}\) gesty na \(\displaystyle{ Y}\) będący rozszerzeniem danego porządku \(\displaystyle{ \le. }\)
Wiem, że takie twierdzenie jest, gdyż najogólniej to mamy twierdzenie, że nawet każdy zbiór uporządkowany można rozszerzyć do porządku ciągłego, więc również każdy zbiór liniowo uporządkowany można rozszerzyć do porządku ciągłego (a więc i gęstego, porządek ciągły jest gęsty). Mnie interesuje najbardziej, że każdy zbiór liniowo uporządkowany można rozszerzyć do porządku ciągłego. Najpierw jednak chce wykazać , że zbiór liniowo uporządkowany można rozszerzyć do porządku gęstego (a potem, że każdy porządek gęsty można rozszerzyć do porządku ciągłego- ale to później). Jednak mam kłopot z dowodem( mam pewien pomysł, ale potrzebuje pomocy z dowodem). Oto moja próba:
Niech \(\displaystyle{ (X, \le )}\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym, który nie jest gęsty (jak jest gęsty, to bierzemy \(\displaystyle{ Y=X, \le^{*} = \le}\), i dowód jest zakończony). Wtedy, zgodnie z charakteryzacją porządków gęstych istniej przekrój Dedekinda \(\displaystyle{ (A,B)}\), który daje skok( zbiór liniowo uporządkowany jednoelementowy i pusty nie ma przekrojów Dedekinda, ale sprawdziłem wtedy równoważność zachodzi, więc jest gęsty, więc gdy porządek nie jest gęsty, to \(\displaystyle{ X}\) ma co najmniej dwa elementy, a wtedy rzeczywiście istnieją przekroje Dedekinda- nie wiem czy to konieczne, ale w zbiorze pustym nie obowiązuje prawo zaprzeczania kwantyfikatorowi ogólnemu).
Wtedy klasa dolna przekroju \(\displaystyle{ A}\) ma element największy \(\displaystyle{ x}\). Wykorzystamy zbiór \(\displaystyle{ \left( 0,1\right) \cap \QQ}\) z naturalnym porządkiem \(\displaystyle{ \le _{\QQ}.}\) Rozważmy sumę porządkową \(\displaystyle{ A\oplus \left( \left( 0,1\right) \cap \QQ\right) }\) (na \(\displaystyle{ A}\) porządek \(\displaystyle{ \le}\) ). Formalnie jeszcze trzeba te zbiory urozłącznić ( żeby były rozłączne) . I tak dla dowolnego skoku( formalnie dla dowolnego przekroju Dedekinda dającego skok). I bierzemy sumę wszystkich takich zbiorów. Tylko nie wiem jak pokazać, że będzie to zbiór liniowo uporządkowany gęsty. Nawet nie wiem jak pokazać, że porządek jest liniowy. Gdybym mógł tu wskazać łańcuch porządków gęstych, to suma byłaby porządkiem gęstym, na mocy faktu, który udowodniłem na początku moich ostatnich wakacji. Jednak nie jest łatwo to zrobić- trzeba by to zrobić pewnie krok po kroku , pewnie jakaś indukcja pozaskończona, nie lekko. Może sprawdzić po kolei wszystko, ale pewnie trzeba byłoby się napracować. Jak to zrobić? Proszę o pomoc.
Wiem, że takie twierdzenie jest, gdyż najogólniej to mamy twierdzenie, że nawet każdy zbiór uporządkowany można rozszerzyć do porządku ciągłego, więc również każdy zbiór liniowo uporządkowany można rozszerzyć do porządku ciągłego (a więc i gęstego, porządek ciągły jest gęsty). Mnie interesuje najbardziej, że każdy zbiór liniowo uporządkowany można rozszerzyć do porządku ciągłego. Najpierw jednak chce wykazać , że zbiór liniowo uporządkowany można rozszerzyć do porządku gęstego (a potem, że każdy porządek gęsty można rozszerzyć do porządku ciągłego- ale to później). Jednak mam kłopot z dowodem( mam pewien pomysł, ale potrzebuje pomocy z dowodem). Oto moja próba:
Niech \(\displaystyle{ (X, \le )}\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym, który nie jest gęsty (jak jest gęsty, to bierzemy \(\displaystyle{ Y=X, \le^{*} = \le}\), i dowód jest zakończony). Wtedy, zgodnie z charakteryzacją porządków gęstych istniej przekrój Dedekinda \(\displaystyle{ (A,B)}\), który daje skok( zbiór liniowo uporządkowany jednoelementowy i pusty nie ma przekrojów Dedekinda, ale sprawdziłem wtedy równoważność zachodzi, więc jest gęsty, więc gdy porządek nie jest gęsty, to \(\displaystyle{ X}\) ma co najmniej dwa elementy, a wtedy rzeczywiście istnieją przekroje Dedekinda- nie wiem czy to konieczne, ale w zbiorze pustym nie obowiązuje prawo zaprzeczania kwantyfikatorowi ogólnemu).
Wtedy klasa dolna przekroju \(\displaystyle{ A}\) ma element największy \(\displaystyle{ x}\). Wykorzystamy zbiór \(\displaystyle{ \left( 0,1\right) \cap \QQ}\) z naturalnym porządkiem \(\displaystyle{ \le _{\QQ}.}\) Rozważmy sumę porządkową \(\displaystyle{ A\oplus \left( \left( 0,1\right) \cap \QQ\right) }\) (na \(\displaystyle{ A}\) porządek \(\displaystyle{ \le}\) ). Formalnie jeszcze trzeba te zbiory urozłącznić ( żeby były rozłączne) . I tak dla dowolnego skoku( formalnie dla dowolnego przekroju Dedekinda dającego skok). I bierzemy sumę wszystkich takich zbiorów. Tylko nie wiem jak pokazać, że będzie to zbiór liniowo uporządkowany gęsty. Nawet nie wiem jak pokazać, że porządek jest liniowy. Gdybym mógł tu wskazać łańcuch porządków gęstych, to suma byłaby porządkiem gęstym, na mocy faktu, który udowodniłem na początku moich ostatnich wakacji. Jednak nie jest łatwo to zrobić- trzeba by to zrobić pewnie krok po kroku , pewnie jakaś indukcja pozaskończona, nie lekko. Może sprawdzić po kolei wszystko, ale pewnie trzeba byłoby się napracować. Jak to zrobić? Proszę o pomoc.