Cykl pracy silnika cieplnego
: 3 paź 2020, o 21:47
W zbiorze zadań \(\displaystyle{ [1] }\) znajdujemy zadanie \(\displaystyle{ 8.41 }\) następującej treści:
Na rysunku przedstawiono cykl pracy silnika cieplnego, w którym ciałem roboczym jest pół mola dwuatomowego gazu gazu doskonałego.
Przemiana \(\displaystyle{ 2 - 3 }\) jest adiabatyczna. Dane są temperatury \(\displaystyle{ T_{1} = 300 K, \ \ T_{2}= 790 K. }\)
a) Proszę obliczyć sprawność silnika.
b) Proszę obliczyć pracę wykonaną przez gaz w przemianie adiabatycznej dwoma sposobami:
- korzystając z wyniku uzyskanego w punkcie \(\displaystyle{ a) }\)
- korzystając z pierwszej zasady termodynamiki.
Z wykresu \(\displaystyle{ p(V) }\) (rysunek) wynika, że na pełny obieg pracy silnika cieplnego składają się następujące procesy (przemiany):
\(\displaystyle{ 1(V_{1}, T_{1}, p_{1}) \rightarrow 2( V_{1}, T_{2}, 2,5 p_{1}) }\) - proces izochorycznego sprężania,
\(\displaystyle{ 2( V_{1}, T_{2}, p_{2}) \rightarrow 3( 2V_{1}, T_{1} p_{1}) }\) - proces adiabatycznego rozprężania,
\(\displaystyle{ 3(2V_{1},T_{1}, p_{1}) \rightarrow 1((V_{1}, T_{1}, p_{1}) }\) - proces izobarycznego sprężania.
Sprawność silnika cieplnego \(\displaystyle{ \eta }\) to iloraz różnicy ciepła oddanego i pobranego przez ciepło pobrane,
\(\displaystyle{ \eta = \frac{Q_{p} - |Q_{o}|}{Q_{p}} \ \ (1) }\)
Silnik pobiera ciepło w procesie \(\displaystyle{ 1- 2 }\) i oddaje w procesie \(\displaystyle{ 3 - 1. }\)
Do obliczenia ilość tego ciepła potrzebne są ciepła molowe dla gazu dwuatomowego \(\displaystyle{ C_{V}, \ \ C_{p}.}\)
Na stronie \(\displaystyle{ 24 }\) autorki zbioru zadań podały \(\displaystyle{ C_{V} = \frac{5}{2}R.}\)
Nie podały wartości ciepła molowego \(\displaystyle{ C_{p}. }\)
Na przykład z podręcznika \(\displaystyle{ [2] }\) - odczytujemy dla gazów o cząsteczkach dwuatomowych \(\displaystyle{ C_{p} = \frac{7}{2}R. }\)
Wielkość tą możemy określić, nie odwołując się do dodatkowego podręcznika (na co prawdopodobnie liczyły autorki zbioru zadań) z równania:
\(\displaystyle{ C_{p} - C_{V} = R, }\)
z którego
\(\displaystyle{ C{p} = C_{V} + R }\)
\(\displaystyle{ C_{p} = \frac{5}{2}R + R = \frac{7}{2}R.}\)
\(\displaystyle{ R = 8,31 \frac{J}{mol \cdot K} }\) - uniwersalna stała gazowa.
Ciepło pobrane
\(\displaystyle{ Q_{p} = n C_{V} R( T_{2} - T_{1}) \ \ (2) }\)
Ciepło oddane
\(\displaystyle{ Q_{o} = n C_{p} R (T_{1} - T_{3}) \ \ (3) }\)
Temperaturę \(\displaystyle{ T_{3} }\) obliczamy z równania Clapeyrona dla punktu \(\displaystyle{ 3 }\) wykresu
\(\displaystyle{ p_{1}\cdot 2V_{1} = n R T_{3} }\)
\(\displaystyle{ T_{3} = \frac{2p_{1}V_{1}}{nR} = 2T_{1}\ \ (4) }\)
Podstawiamy równanie \(\displaystyle{ (4) }\) do równania \(\displaystyle{ (3) }\) i równania \(\displaystyle{ (3), (2) }\) do równania \(\displaystyle{ (1),}\)
otrzymujemy
\(\displaystyle{ \eta = \frac{nC_{V} (T_{2} - T_{1}) - |n C_{p}( T_{1} - 2T_{1}|}{n C_{V} (T_{2} - T_{1})} = 1 - \frac{\frac{7}{2}R}{\frac{5}{2}R} \frac{T_{1}}{(T_{2} - T_{1})} = 1 - \frac{7}{5}\frac{T_{1}}{ (T_{2} - T_{1})}, }\)
\(\displaystyle{ \eta = 1 - \frac{7}{5} \frac{300 (K)}{ 790(K) - 300(K)} \approx 14,3\% }\)
b)
Z równania pierwszej zasady termodynamiki
\(\displaystyle{ \Delta U = Q + W }\)
Dla przemiany adiabatycznej \(\displaystyle{ Q = 0.}\)
Stąd
\(\displaystyle{ W = \Delta U = n C_{V}R (T_{2} - T_{3}) = n\frac{5}{2}R ( T_{2} -2T_{1}) }\)
\(\displaystyle{ W = 0,5 (mol) \cdot 2,5 \cdot 8,31 \left(\frac{J}{mol\cdot K}\right) \left(790 (K) - 600(K)\right) \approx 1974 \ \ J.}\)
\(\displaystyle{ [1] }\) Agnieszka Bożek, Katarzyna Nessing, Jadwiga Salach. Z fizyką w przyszłość zbiór zadań dla szkół ponadgimnazjalnych zakres
rozszerzony część 2. WSiP Warszawa 2017.
\(\displaystyle{ [2] }\) Jan Zambrzycki FIZYKA. Leksykon ucznia. Wydawnictwo ELAN Białystok 1999.
Na rysunku przedstawiono cykl pracy silnika cieplnego, w którym ciałem roboczym jest pół mola dwuatomowego gazu gazu doskonałego.
Przemiana \(\displaystyle{ 2 - 3 }\) jest adiabatyczna. Dane są temperatury \(\displaystyle{ T_{1} = 300 K, \ \ T_{2}= 790 K. }\)
a) Proszę obliczyć sprawność silnika.
b) Proszę obliczyć pracę wykonaną przez gaz w przemianie adiabatycznej dwoma sposobami:
- korzystając z wyniku uzyskanego w punkcie \(\displaystyle{ a) }\)
- korzystając z pierwszej zasady termodynamiki.
Z wykresu \(\displaystyle{ p(V) }\) (rysunek) wynika, że na pełny obieg pracy silnika cieplnego składają się następujące procesy (przemiany):
\(\displaystyle{ 1(V_{1}, T_{1}, p_{1}) \rightarrow 2( V_{1}, T_{2}, 2,5 p_{1}) }\) - proces izochorycznego sprężania,
\(\displaystyle{ 2( V_{1}, T_{2}, p_{2}) \rightarrow 3( 2V_{1}, T_{1} p_{1}) }\) - proces adiabatycznego rozprężania,
\(\displaystyle{ 3(2V_{1},T_{1}, p_{1}) \rightarrow 1((V_{1}, T_{1}, p_{1}) }\) - proces izobarycznego sprężania.
Sprawność silnika cieplnego \(\displaystyle{ \eta }\) to iloraz różnicy ciepła oddanego i pobranego przez ciepło pobrane,
\(\displaystyle{ \eta = \frac{Q_{p} - |Q_{o}|}{Q_{p}} \ \ (1) }\)
Silnik pobiera ciepło w procesie \(\displaystyle{ 1- 2 }\) i oddaje w procesie \(\displaystyle{ 3 - 1. }\)
Do obliczenia ilość tego ciepła potrzebne są ciepła molowe dla gazu dwuatomowego \(\displaystyle{ C_{V}, \ \ C_{p}.}\)
Na stronie \(\displaystyle{ 24 }\) autorki zbioru zadań podały \(\displaystyle{ C_{V} = \frac{5}{2}R.}\)
Nie podały wartości ciepła molowego \(\displaystyle{ C_{p}. }\)
Na przykład z podręcznika \(\displaystyle{ [2] }\) - odczytujemy dla gazów o cząsteczkach dwuatomowych \(\displaystyle{ C_{p} = \frac{7}{2}R. }\)
Wielkość tą możemy określić, nie odwołując się do dodatkowego podręcznika (na co prawdopodobnie liczyły autorki zbioru zadań) z równania:
\(\displaystyle{ C_{p} - C_{V} = R, }\)
z którego
\(\displaystyle{ C{p} = C_{V} + R }\)
\(\displaystyle{ C_{p} = \frac{5}{2}R + R = \frac{7}{2}R.}\)
\(\displaystyle{ R = 8,31 \frac{J}{mol \cdot K} }\) - uniwersalna stała gazowa.
Ciepło pobrane
\(\displaystyle{ Q_{p} = n C_{V} R( T_{2} - T_{1}) \ \ (2) }\)
Ciepło oddane
\(\displaystyle{ Q_{o} = n C_{p} R (T_{1} - T_{3}) \ \ (3) }\)
Temperaturę \(\displaystyle{ T_{3} }\) obliczamy z równania Clapeyrona dla punktu \(\displaystyle{ 3 }\) wykresu
\(\displaystyle{ p_{1}\cdot 2V_{1} = n R T_{3} }\)
\(\displaystyle{ T_{3} = \frac{2p_{1}V_{1}}{nR} = 2T_{1}\ \ (4) }\)
Podstawiamy równanie \(\displaystyle{ (4) }\) do równania \(\displaystyle{ (3) }\) i równania \(\displaystyle{ (3), (2) }\) do równania \(\displaystyle{ (1),}\)
otrzymujemy
\(\displaystyle{ \eta = \frac{nC_{V} (T_{2} - T_{1}) - |n C_{p}( T_{1} - 2T_{1}|}{n C_{V} (T_{2} - T_{1})} = 1 - \frac{\frac{7}{2}R}{\frac{5}{2}R} \frac{T_{1}}{(T_{2} - T_{1})} = 1 - \frac{7}{5}\frac{T_{1}}{ (T_{2} - T_{1})}, }\)
\(\displaystyle{ \eta = 1 - \frac{7}{5} \frac{300 (K)}{ 790(K) - 300(K)} \approx 14,3\% }\)
b)
Z równania pierwszej zasady termodynamiki
\(\displaystyle{ \Delta U = Q + W }\)
Dla przemiany adiabatycznej \(\displaystyle{ Q = 0.}\)
Stąd
\(\displaystyle{ W = \Delta U = n C_{V}R (T_{2} - T_{3}) = n\frac{5}{2}R ( T_{2} -2T_{1}) }\)
\(\displaystyle{ W = 0,5 (mol) \cdot 2,5 \cdot 8,31 \left(\frac{J}{mol\cdot K}\right) \left(790 (K) - 600(K)\right) \approx 1974 \ \ J.}\)
\(\displaystyle{ [1] }\) Agnieszka Bożek, Katarzyna Nessing, Jadwiga Salach. Z fizyką w przyszłość zbiór zadań dla szkół ponadgimnazjalnych zakres
rozszerzony część 2. WSiP Warszawa 2017.
\(\displaystyle{ [2] }\) Jan Zambrzycki FIZYKA. Leksykon ucznia. Wydawnictwo ELAN Białystok 1999.