w kule wpisano walec

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
kujdak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 546
Rejestracja: 12 paź 2007, o 20:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wlkp
Podziękował: 193 razy
Pomógł: 51 razy

w kule wpisano walec

Post autor: kujdak » 15 paź 2007, o 21:50

W kulę o promieniu długości R wpisano walec o największej objętości. Wyznacz stosunek objętości kuli do objętości tego walca.

Pomocy, pozdrawiam
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

andkom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 636
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 350 razy

w kule wpisano walec

Post autor: andkom » 17 paź 2007, o 13:18

Niech r będzie promieniem podstawy rozważanogo walca, a h jego wysokością.
Mamy \(\displaystyle{ r^2+(h/2)^2=R^2}\)
Objętość walca to \(\displaystyle{ \pi r^2h=\pi(R^2-h^2/4)h=\pi(R^2h-h^3/4)=:V(h)}\).
Funkcja V(h) przyjmuje maksimum dla takiego h, że V'(h)=0, czyli
\(\displaystyle{ \pi(R^2-3h^2/4)=0}\). Stąd \(\displaystyle{ h=\frac2{\sqrt3}R}\), a szukany stosunek objętości brył wynosi
\(\displaystyle{ \frac{\frac43\pi R^3}{\pi(R^2h-h^3/4)}=\frac{\frac43}{\frac hR-(\frac hR)^3/4}
=\frac{\frac43}{\frac2{\sqrt3}-(\frac2{\sqrt3})^3/4}=\\
=\frac{\frac43}{\frac2{\sqrt3}(1-1/3)}=\sqrt3}\)

ODPOWIEDZ