Matematyka.pl

Dzień dobry
Mam problem z następującym zadaniem. Mianowicie w poleceniu zadania podany jest wykres funkcji liniowej \(\displaystyle{ f(x)}\) który należy przekształcić tak, aby uzyskać wykres funkcji \(\displaystyle{ h(x)= f(1-\left| x\right|)}\). Czy ktoś mógłby mi wytłumaczyć w jakiej kolejności należałoby zastosować odpowiednie przekształcenia? Ja to zadanie próbowałem rozwiązać następująco:
1. Przekształcenie typu \(\displaystyle{ \left| x\right|}\), czyli prawą stronę funkcji zostawiamy i odbijamy symetrycznie przez oś OY.
2. Symetria OY, bo: \(\displaystyle{ h(x)=f(-(\left| x\right|-1)}\) czyli sytuacja \(\displaystyle{ f(-x)}\)
3. Przesunięcie o wektor \(\displaystyle{ [1,0]}\).

Wykres funkcji, który powstaje w wyniku powyższych przekształceń jest inny od tego, który jest w odpowiedzi ale za bardzo nie wiem dlaczego.

Możesz tak:


albo tak:


ale jeśli zaczniesz od zamiany \(\displaystyle{ x}\) na \(\displaystyle{ \left| x\right| }\) to Ci nie wyjdzie bo potem przesuwając o wektor będziesz dostawał \(\displaystyle{ \left| x \pm 1\right| }\) zamiast \(\displaystyle{ \left| x\right| \pm 1 }\).

No właśnie, jedyna kolejność przekształceń która prowadzi do poprawnego wyniku to taka, którą wskazałeś aczkolwiek nie za bardzo rozumiem dlaczego powinno się to robić w ten sposób. Czy aby nie ma konkretnych reguł, które określają kolejność przekształceń w bardziej skomplikowanych przykładach? Ja osobiście słyszałem o regule, która mówi iż powinno się przekształcenia zaczynać "od środka" tj. od argumentu. Stąd też moje przekształcenie typu \(\displaystyle{ \left| x\right| }\) jako pierwsze. Jeżeli to stwierdzenie jest fałszywe, to czym się sugerować w tego typu zadaniach?

Sounes pisze: ↑26 wrz 2020, o 17:06Czy aby nie ma konkretnych reguł, które określają kolejność przekształceń w bardziej skomplikowanych przykładach?

Żadna reguła nie zastąpi myślenia. Zamiast stosować mniej lub bardzie podejrzane reguły możesz po prostu sprawdzić, do czego prowadzą Twoje przekształcenia:

\(\displaystyle{ f(x)\\
g(x)=f(|x|)\\
h(x)=g(-x)=f(|-x|)=f(|x|)\\
j(x)=h(x-1)=f(|x-1|),}\)

więc, jak widzisz, kicha. Nawiasem mówiąc, powinieneś wiedzieć, że zastosowanie przekształcenia \(\displaystyle{ x\mapsto|x|}\) daje funkcję parzystą (o wykresie symetrycznym względem osi OY), więc stosowanie do jej wykresu symetrii względem osi OY zupełnie mija się z celem (co widać w powyższych rachunkach).
Natomiast u Janusza Tracza masz np.

\(\displaystyle{ f(x)\\
g(x)=f(x+1)\\
h(x)=g(-x)=f(-x+1)\\
j(x)=h(|x|)=f(-|x|+1),}\)

czyli dobrze.

JK

Dzięki wielkie za udzieloną mi pomoc i jednocześnie sorry za tak pózna odpowiedz . Rozumiem już na czym polegał mój problem. Przerobiłem już parę zadań tego typu i wychodzi na to, że kolejność przekształceń po prostu trzeba obmyśleć tak jak to zrobiliście. Temat uważam za zamknięty.