Matematyka.pl

Wiadomo, że jeżeli \(\displaystyle{ a>0}\), to \(\displaystyle{ |f(x)|=a}\), daje \(\displaystyle{ f(x)=a}\) lub \(\displaystyle{ f(x)=-a}\).
A teraz pytanie:
czy dla \(\displaystyle{ g(x)>0}\), równanie \(\displaystyle{ |f(x)|=g(x)}\), daje \(\displaystyle{ f(x)=g(x)}\) lub \(\displaystyle{ f(x)=-g(x)}\)?
I drugi problem:
Wiadomo, że \(\displaystyle{ |a|=|b|}\) daje \(\displaystyle{ a=b}\) lub \(\displaystyle{ a=-b}\).
A teraz pytanie:
czy \(\displaystyle{ |f(x)|=|g(x)|}\) daje \(\displaystyle{ f(x)=g(x)}\) lub \(\displaystyle{ f(x)=-g(x)}\)?

Zależy, co dokładnie masz na myśli. Trzeba tu być bardzo precyzyjnym i uważać na kwantyfikatory, bo inaczej pójdziemy do piachu.

Jeśli \(\displaystyle{ g(x)>0}\), to z własności \(\displaystyle{ (\forall x \in D)(|f(x)|=g(x))}\) wynika, że
\(\displaystyle{ (\forall x\in D)(f(x)=g(x)\vee f(x)=-g(x))}\).

Natomiast nieprawdą jest, że jeśli \(\displaystyle{ g(x)>0}\), to z własności \(\displaystyle{ (\forall x \in D)(|f(x)|=g(x))}\) wynika, że
\(\displaystyle{ ((\forall x\in D)(f(x)=g(x)))\vee((\forall x\in D)(f(x)=-g(x)))}\).
By się o tym przekonać, wystarczy wziąć \(\displaystyle{ D=\RR\setminus \left\{0\right\}, \ f(x)=\begin{cases}-1 \text{ dla }x<0\\1 \text{ dla }x>0\end{cases}}\) oraz \(\displaystyle{ g(x)=1}\).

Analogicznie z Twoim drugim pytaniem. Jeśli dla każdego \(\displaystyle{ x}\) należącego do pewnego zbioru \(\displaystyle{ D}\) zachodzi \(\displaystyle{ |f(x)|=|g(x)|}\), to możemy stąd wysnuć wniosek, że dla każdego \(\displaystyle{ x\in D}\) zajdzie jedno z dwojga: \(\displaystyle{ g(x)=f(x), \ g(x)=-f(x)}\).
Natomiast to nie znaczy, że jedna z tych możliwości musi być prawdziwa dla każdego iksa. Kontrprzykład, \(\displaystyle{ D=\RR\setminus\left\{0\right\}, \ f(x)=\begin{cases}-1 \text{ dla }x<0\\1 \text{ dla }x>0\end{cases}, \ g(x)=\begin{cases}-1 \text{ dla }x\in [-1,1]\setminus \left\{0\right\}\\1 \text{ w przeciwnym wypadku }\end{cases}}\).

Innymi słowy, nie można takich wzorów używać do rozwiązywania równań? Bo są nieprawdziwe w ogólnym przypadku, czyli nie są wzorami?

Niestety tak.

Ale dlaczego nie sa wzorami? Czyżby wzór musiał być prawdziwy?

Jak już idziemy w takie redundantne, pseudofilozoficzne dywagacje o języku, to spytam, co to znaczy, że wzór jest „prawdziwy". Cóż to jest prawda? – rzekł Poncjusz Piłat.

Obstawiałbym jednak, że autorowi wątki chodzi o rozwiązywanie równań liczbowych, a nie funkcyjnych, a w tym przypadku oba przejścia są poprawne.

Czyli na przykład: rozwiązując równanie \(\displaystyle{ |2x+1| = 3x-4}\), wolno - przy założeniu dodatniości prawej strony - przekształcić je do \(\displaystyle{ 2x+1 = 3x-4 \vee 2x+1 = -3x+4}\).

Podobnie równanie \(\displaystyle{ |x^2-6| = |2x+3|}\) jest równoważne \(\displaystyle{ x^2-6 = 2x+3 \vee x^2-6 = -2x-3}\).


Natomiast post Premislava odnosi się w zasadzie tylko do równań funkcyjnych, czyli takich, w których niewiadomą jest funkcja. Przykładowo: jeśli zadanie polega na znalezieniu wszystkich funkcji \(\displaystyle{ f : \RR \to \RR}\) spełniających dla każdego \(\displaystyle{ x \in \RR}\) równość \(\displaystyle{ |f(x)| = x^2+1}\), to - tak jak ostrzega Premislav - nie jest prawdą, że jedynymi rozwiązaniami są \(\displaystyle{ f(x) = x^2+1}\) i \(\displaystyle{ f(x) = -x^2-1}\).