Matematyka.pl

Mam problem, jak obliczyć prędkość pocisku po przebiciu osłony, a dokładnie jak wyprowadzić wzór na takową prędkość?

Sformułowanie zadania

Osłonę o grubości \(\displaystyle{ d }\) przebija pocisk o masie \(\displaystyle{ m }\) z prędkością początkową \(\displaystyle{ v(0) = v_{0} }\) (w chwli uderzenia w osłonę).

Proszę obliczyć prędkość końcową pocisku \(\displaystyle{ v_{1} }\) po przebiciu osłony.

Zakładamy, że wartość siły oporu osłony \(\displaystyle{ F = k\cdot v^2 }\) - hamująca ruch pocisku jest proporcjonalna do kwadratu prędkości \(\displaystyle{ v }\) pocisku.

Rozwiązanie

Zakładamy ruch pocisku wzdłuż osi \(\displaystyle{ Ox. }\)

Z drugiej zasady dynamiki Newtona wynika równanie różniczkowe:

\(\displaystyle{ m\cdot \frac{dv}{dt} = -kv^2 \ \ (1) }\)

z warunkami początkowymi:

\(\displaystyle{ v(0) = v_{0}, \ \ x(0) = 0. }\)


Podstawiamy w równaniu \(\displaystyle{ (1) }\) przyśpieszenie pocisku jako

\(\displaystyle{ \frac{dv}{dt} = v \cdot \frac{dv}{dx} }\)

\(\displaystyle{ m\cdot v \frac{dv}{dx} = -kv^2 \ \ (2) }\)

Równanie \(\displaystyle{ (2) }\) jest równaniem o zmiennych rozdzielonych

Rozdzielamy zmienne

\(\displaystyle{ \frac{m}{k\cdot v} dv = - dx. }\)

Całkujemy obustronnie

\(\displaystyle{ \frac{m}{k} \int \frac{dv}{v} = -\int dx, }\)

\(\displaystyle{ \frac{m}{k} \ln|v| = -x + c_{1} \ \ (3) }\)

Stałą \(\displaystyle{ c_{1} }\) wyznaczamy z warunków początkowych:

\(\displaystyle{ \frac{m}{k}\ln (v_{0}) = c_{1} \ \ (4) }\)

Na podstawie \(\displaystyle{ (3), (4) }\)

\(\displaystyle{ \frac{m}{k} \ln(v) = -x + \frac{m}{k}\ln(v_{0}) }\)

\(\displaystyle{ x = \frac{m}{k} \ln\left( \frac{v_{0}}{v} \right) \ \ (5) }\)

Podstawiamy do równania \(\displaystyle{ (5) }\)

\(\displaystyle{ x = d, \ \ v = v_{1}. }\)

Mamy

\(\displaystyle{ d = \frac{m}{k} \ln\left (\frac{v_{0}}{v_{1}}\right) }\)

\(\displaystyle{ \frac{kd}{m} = \ln\left(\frac{v_{0}}{v_{1}}\right) }\)

\(\displaystyle{ \frac{v_{0}}{v_{1}} = e^{\frac{k\cdot d}{m}} }\)

\(\displaystyle{ v_{1} = \frac{v_{0}}{e^{\frac{k\cdot d}{m}}} = v_{0} e ^{-\frac{k\cdot d}{m}}. }\)

A co z uwzględnieniem gęstości osłony?

Współczynnik \(\displaystyle{ k, }\) jest funkcją masy \(\displaystyle{ m = V\cdot \rho. }\)

Raczej funkcją gęstości.

Raczej funkcją liniową masy \(\displaystyle{ m }\) . W praktyce balistycznej oblicza się bezpośrednio \(\displaystyle{ e^{\frac{k}{m}}, }\) co znacznie upraszcza rachunki.

Ekhm, januszu47, \(\displaystyle{ m}\) jest masą pocisku, nie masą osłony:

janusz47 pisze: ↑15 wrz 2020, o 10:49 Osłonę o grubości \(\displaystyle{ d}\) przebija pocisk o masie \(\displaystyle{ m}\)

\(\displaystyle{ k}\) jest stałą charakteryzującą ośrodek który stawia opór, w tym przypadku osłonę. Może też oczywiście zależeć od pola przekroju pocisku i jego kształtu, ale w żadnym wypadku od jego masy. Ponadto \(\displaystyle{ k}\) nie zależy wprost od masy osłony, tylko od jej gęstości. Chyba, że twierdzisz iż osłona stawia małemu pociskowi dwa razy większy opór kiedy jest dwa razy większa... Stosując nomenklaturę termodynamiczną, \(\displaystyle{ k}\) jest wielkością intensywną, nie ekstensywną. Oczywiście gęstość można zapisać jako \(\displaystyle{ \frac{M}{V}}\), gdzie \(\displaystyle{ M}\) to masa osłony, a \(\displaystyle{ V}\) to jej objętość (przy założeniu, że osłona jest jednorodna), ale nikt w ten sposób nie robi.

\(\displaystyle{ m }\) - masa pocisku.

Współczynnik \(\displaystyle{ k }\) - oporu osłony

\(\displaystyle{ [k] =\left [\frac{kg}{m} \right ] }\)

Przykład

Pocisk M-193

\(\displaystyle{ m = 3,56 g, \ \ v_{0} = 1005 \frac{m}{s} }\)

Osłona stalowa: \(\displaystyle{ d = 3,5 mm, \ \ k = 0,40 \frac{kg}{m}, }\)

\(\displaystyle{ v_{1} = 1005 \left(\frac{m}{s}\right) \cdot e^{-\frac{0,40 \left(\frac{kg}{m}\right) \cdot 3,5\cdot 10^{-3} (m)}{3,56\cdot 10^{-3} (kg)}} \approx 678,2 \frac{m}{s}.}\)

Czy Ty nabijasz sobie posty? Co z tego, że współczynnik \(\displaystyle{ k}\) ma w jednostce kilogramy? Nie może on być liniową funkcją masy pocisku, bo wtedy masa pocisku by się skróciła z równania różniczkowego ruchu. Jeśli \(\displaystyle{ k=Cm}\) to dostaniemy:
\(\displaystyle{ ma=-Cmv^2}\)
czyli:
\(\displaystyle{ a=-Cv^2}\).
A to jest bzdura jawnie sprzeczna z Twoim rozwiązaniem!
Podsumujmy:
1. Autor tematu zapytał gdzie jest uwzględniona gęstość osłony.
2. Ty odpowiadasz, że współczynnik \(\displaystyle{ k}\) jest funkcją masy. Masy czego? Osłony?
3. Ja zauważam, że \(\displaystyle{ k}\) nie może być funkcją masy tylko gęstości osłony.
4. Ty piszesz, że \(\displaystyle{ k}\) jest liniową funkcją masy pocisku.
5. Kompletnie ignorujesz moje uwagi i podstawiasz do wzoru jakieś dane.

Wprowadzasz tym samym autora tematu w błąd. Proszę o zaprzestanie tego procederu.

@AiDi
Już powinieneś sie nauczyć, że z precyzją wypowiedzi u janusz47 bywa różnie. I jeżeli w jednym miejscu oznacza przez `m` masę pocisku, to nie znaczy to wcale, że we wzorze

Współczynnik `k` jest funkcją masy `m=V\rho`

`m` oznacza to samo. Mam czasem wrażenie, że janusz47 przegląda sterty podręczników i z przepisuje z nich wzory, które być może maja jakieś odniesienie do aktualnie rozwiązywanego zadania.

Po pierwszej wypowiedzi też myślałem, że chodzi o masę osłony, ale po tej wypowiedzi:

janusz47 pisze: ↑15 wrz 2020, o 21:38 W praktyce balistycznej oblicza się bezpośrednio \(\displaystyle{ e^{\frac{k}{m}}, }\) co znacznie upraszcza rachunki.

wydaje mi się, że chodzi jednak o masę pocisku. A jeśli nie, to to zdanie jest kompletnie nie na temat i nie wiem po co znalazło się w poście. Niestety ciężko jest uzyskać informację, bo janusz47 zmienił kolejny raz temat i zaczął podstawiać dane ignorując kompletnie całą dyskusję.
Pojawiło się także i to:

janusz47 pisze: ↑15 wrz 2020, o 23:31 \(\displaystyle{ m }\) - masa pocisku.

Współczynnik \(\displaystyle{ k }\) - oporu osłony

\(\displaystyle{ [k] =\left [\frac{kg}{m} \right ] }\)

co odebrałem jako uzasadnienie tego, że \(\displaystyle{ k}\) jest funkcją liniową masy (już nieważne której), co jest argumentem trochę chybionym. Jednostka indukcji magnetycznej też zawiera w sobie \(\displaystyle{ kg}\), ale to wcale nie oznacza, że pole magnetyczne jest liniową funkcją masy.
Może to być argument za tym, że \(\displaystyle{ k}\) jest liniową funkcją gęstości ośrodka. Zderzenie z osłoną to proces lokalny, zatem \(\displaystyle{ k}\) powinno się uzależniać od wielkości intensywnych, a nie ekstensywnych.