Matematyka.pl

Udowodnić, że ciąg ostatnich cyfr liczby \(\displaystyle{ n^{n^{n}}}\) jest okresowy

Oznaczmy:
\(\displaystyle{ a_{n}= n^{ n^{n} } }\)
Zapiszemy (przystawanie modulo 10):
\(\displaystyle{ a_{n+20}- a_{n}=(n+20)^{ (n+20)^{(n+20)} }- n^{ n^{n} } \equiv n^{ (n+20)^{(n+20)} }- n^{ n^{n} } \equiv n^{ n^{n} }(n^{ (n+20)^{(n+20)} - n^{n} }-1)}\)
Powyższa liczba jest podzielna przez 2, gdyż jeżeli n jest podzielne przez 2 to \(\displaystyle{ n^{ n^{n} }}\) jest podzielne przez 2, w przeciwnym razie liczba
\(\displaystyle{ (n^{ (n+20)^{(n+20)} - n^{n} }-1)}\) jest podzielna przez 2.
Ponadto powyższa liczba jest podzielna przez 5, gdyż jeżeli n jest podzielne przez 5 to \(\displaystyle{ n^{ n^{n} }}\) jest podzielne przez 5, w przeciwnym razie otrzymujemy (przystawanie modulo 4):
\(\displaystyle{ (n+20)^{(n+20)} - n^{n} \equiv n^{(n+20)} - n^{n}\equiv n^{n}( n^{20}-1 ) \equiv 0 }\)
Ostatnia kongruencja wynika z tego, że gdy n jest parzyste to \(\displaystyle{ n^{n} }\) jest podzielne przez 4, jako kwadrat liczby parzystej, gdy natomiast jest nieparzyste to \(\displaystyle{ n^{20}}\) daje resztę 1 z dzielenia przez 4 jako kwadrat liczby nieparzystej.
Na mocy małego twierdzenia Fermata dla liczy pierwszej \(\displaystyle{ p=5}\) otrzymujemy więc, że liczba \(\displaystyle{ (n^{ (n+20)^{(n+20)} - n^{n} }-1)= n^{4k}-1= n^{ 4^{k} }-1 }\) (dla pewnego całkowitego k) jest podzielna przez 5, gdy n nie jest podzielne przez 5.
Ostatecznie, więc \(\displaystyle{ a_{n+20}- a_{n}}\) jest podzielne przez 10, czyli liczby \(\displaystyle{ a_{n+20}, a_{n}}\) mają tę samą cyfrę jedności.