Matematyka.pl

Losujemy punkt z okręgu o środku w punkcie \(\displaystyle{ (0, 0)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 2}\). Niech \(\displaystyle{ X }\) oznacza odległość wylosowanego punktu od środka okręgu,
a) wyznaczyć dystybuantę i gęstość (o ile istnieje) zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\).
b) obliczyć \(\displaystyle{ P(Y>1)}\)
c) obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\)

Wiem jak zrobić b), c) i gęstość, niestety do rozwiązania ich najpierw muszę mieć dystrybuantę nad którą już sporo się głowię.
Mam to umieć na podstawie tych przykładów:

\(\displaystyle{ \Omega = ((x:x )\in [-2,2])
}\)

\(\displaystyle{ P(A)=\frac{\lambda(A)}{4}}\)

Ta część sprawia mi problem:
(Nie potrafię tego zrozumieć analizując przykłady podane wyżej)
Dla \(\displaystyle{ t<-2, F(t)=P(X\leqslant t))=P(x:X(x)\leq t))=P(\emptyset)=0}\).
Dla \(\displaystyle{ t\in [-2,2], F(t)=P(X\leqslant t))=P(x:X(x)\leq t))=P([-2,t))=\frac{?}{4}}\).
Dla \(\displaystyle{ t\geq 2, F(t)=P(X\leqslant t))=P(x:X(x)\leq t))=P([-2,2])=1}\).

`
X zawsze będzie równe 2

Zawsze jest możliwość, że chodziło o losowanie z koła...

JK

Nadal nie rozumiem skąd biorą się te wartości.
Dla \(\displaystyle{ t\in [-2,2], F(t)=P(X\leqslant t))=P(x:X(x)\leq t))=P([-2,t))=\frac{?}{4}}\).
Jak mam to wypełnić?

Lub na przykład tutaj w przykładzie b) [ciach]
Dla \(\displaystyle{ t\in [0,3), F(t)=P(X\leqslant t))=P(x:X(x)\leq t))=P([-t,t))=\frac{2t}{8}}\).
Dla \(\displaystyle{ t\in [3,5)), F(t)=P(X\leqslant t))=P(x:X(x)\leq t))=P([-3,t))=\frac{t+3}{8}}\).

Jaka jest logika za \(\displaystyle{ \frac{2t}{8}}\) i \(\displaystyle{ \frac{t+3}{8}}\)?

Tak na szybko, abstrahując od przykładów.

W zadaniu mamy wylosować punkt z okręgu i gęstość uzależnić od promienia r.

A zatem dystrybuanta będzie dana wzorem

\(\displaystyle{ P(X \le r)}\)

Losując punkt z okręgu o promieniu 2, prawdopodobieństwem trafienia w mniejszy okrąg o promieniu r, będzie iloraz ich powierzchni.

\(\displaystyle{ P(X \le r) = \frac{\pi r^2}{\pi 2^2} = \frac{r^2}{4}}\)

Licząc pochodną po r otrzymamy gęstość:
\(\displaystyle{ f(r) = \frac{r}{2}}\)

HA! Widzę że nieściśle to zrobiłem. A w książce jest to super pokazane. Dokończę później...

Dodano po 19 godzinach 59 minutach 34 sekundach:
Re: Losujemy punkt z okręgu o środku w punkcie (0, 0 ) i promieniu 2. Niech X oznacza odległość wylosowanego punktu od (0,0)
To wyjaśnię przykład b) .

Zmienna losowa X to odległość wylosowanego punktu x od 0. Co ważne żeby sobie uświadomić, to to że zmienna losowa jest funkcją. W tym wypadku
\(\displaystyle{ X(x)=\left| x\right| }\)
a jej argumentami są zdarzenia losowe.

Natomiast prawdopodobieństwo określamy w taki sposób, że dla odcinka A (zdarzenie losowe) jest ono ilorazem długości tego odcinka i długości \(\displaystyle{ \Omega}\).
I teraz patrząc na wzór na dystrybuantę zmiennej losowej X
\(\displaystyle{ F(t) = P(X \le t)}\),
zastanawiamy się dla jakich argumentów zmiennej X jest to spełnione.
\(\displaystyle{ F(t) = P(X \le t)= P(x:X(x) \le t)}\) ,
Znając dla jakich argumentów, policzymy ich długość i dzieląc przez długość \(\displaystyle{ \Omega}\) otrzymamy prawdopodobieństwo.

A teraz jak to zostało zaprezentowane na wykresie. Na osi OX mamy odłożone wartości x. A oś OY to wartości zmiennej losowej - w tym przypadku jest to wykres funkcji \(\displaystyle{ X(x)=\left| x\right|}\), dla \(\displaystyle{ x \in [-3,5] }\).

Poziomą linią przerywaną przedstawiona jest wartość \(\displaystyle{ t}\), czyli argument dystrybuanty. Patrzymy która część wykresu jest poniżej t i jakie argumenty X(x) temu odpowiadają.W przykładzie oznaczone są one pogrubioną linią na osi OX - jest odcinek [-t, t]. Teraz wystarczy obliczyć długość tego odcinka. Dla rysunku będzie ona wynosiła 2t. Czyli prawdopodobieństwo dla niego \(\displaystyle{ \frac{2t}{8}}\).

Dla t>3 dostajemy cały odcinek dla ujemnych wartości x-a, czyli odcinek [-3,0] którego długość to 3 oraz to co jest po prawej stronie od 0, o długości t. Czyli długość tego odcinka to t+3 i prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ \frac{t+3}{8}}\).