Matematyka.pl

Jaka jest ostatnia cyfra liczby \(\displaystyle{ 2^{1002}}\)? Jaka może być ostatnia cyfra liczby podzielnej przez \(\displaystyle{ 5^{1002}}\)?

Każda z szukanych liczb musi być potęgą 5. rozważmy cztery przypadki

1. Wszystkie wykładniki są dodatnie. Wtedy każda z liczb jest podzielna przez 5, więc ich suma także - sprzeczność
2. jeden wykładnik jest zerowy. Wtedy suma pozostałych trzech jest podzielna przez pięć, a z drugiej strony jest równa `2^{1002}-1\equiv 3\mod 10` - też sprzeczność
3. dwa wykładniki są zerowe. Wtedy musi zachodzić `2^{1002}-2=5^a+5^b`, gdzie `a,b>0` co też jest niemożliwe z tego samego powodu
4. trzy wykładniki są zerowe. Wtedy czwarta liczba jest równa iloczynowi, więc ich suma przekracza zadaną sume.

Wniosek: nie ma takich liczb

\(\displaystyle{ \frac{a}{b} = }\)\(\displaystyle{ \frac{a ^{2}+ n ^{2} }{b ^{2}+n ^{2}}}\)
\(\displaystyle{ a(b ^{2}+ n ^{2})=b(a ^{2}+ n ^{2})}\)
\(\displaystyle{ ab ^{2}+ an ^{2}=ba ^{2}+ bn ^{2}}\)
\(\displaystyle{ ab ^{2}+ an ^{2}-ba ^{2}- bn ^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ ab ^{2}-ba ^{2} +an ^{2}- bn ^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ ab(b-a) -n ^{2}(b-a)=0}\)
\(\displaystyle{ (ab-n ^{2}) (b-a)=0}\)
Zatem \(\displaystyle{ a=b}\), wtedy \(\displaystyle{ \sqrt{ab}= \sqrt{ a^{2} } =a}\) lub \(\displaystyle{ ab=n ^{2} }\), wtedy \(\displaystyle{ \sqrt{ab}= \sqrt{ n^{2} } =n}\).

Policzymy ile rozegrano spotkań, skoro każdy z \(\displaystyle{ 16}\) zawodników wygrał inną liczbę meczów, a każdy mógł wygrać maksymalnie \(\displaystyle{ 15}\) meczów to zawodnicy musieli wygrać odpowiednio \(\displaystyle{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., 15}\) meczów, spotkań było tyle ile wygranych, w takich razie odbyło się \(\displaystyle{ 0+1+2+3+...+15= \frac{15 \cdot 16}{2} =120}\) spotkań. Czyli wszystkie możliwe, więc każdy grał z każdym, czyli każdy zagrał tyle samo spotkań \(\displaystyle{ (15)}\), więc jak każdy miał inną liczbę wygranych to każdy miał także inną liczbę przegranych.

Niech \(\displaystyle{ A}\) oznacza sumę cyfr liczby \(\displaystyle{ a}\), natomiast \(\displaystyle{ B}\) sumę cyfr liczby \(\displaystyle{ b}\). Skoro obie liczby mają te same cyfry to \(\displaystyle{ A=B}\), więc \(\displaystyle{ A+B=2A}\) jest parzyste. Gdyby jedna z liczb \(\displaystyle{ a}\) lub \(\displaystyle{ b}\) nie dzieliła się przez \(\displaystyle{ 10}\), to skoro ich suma dzieli się na \(\displaystyle{ 10}\) to druga też nie dzieliłaby się przez \(\displaystyle{ 10}\). Obie liczby mają tyle samo cyfr, więc skoro ich suma ma \(\displaystyle{ 1001}\) cyfr to muszą obie być \(\displaystyle{ 1000}\) cyfrowe. Rozpatrujemy algorytm dodawania pisemnego, jeśli teraz obie liczby nie dzielą się na \(\displaystyle{ 10}\), to ich ostatnie cyfry nie są \(\displaystyle{ 0}\), ale przy dodawaniu pisemnym musimy otrzymać \(\displaystyle{ 10}\), więc ostatnie cyfry tych liczb sumują się do \(\displaystyle{ 10}\), dostaniemy \(\displaystyle{ 1}\) dalej, zatem cyfry dziesiątek muszą sumować się do \(\displaystyle{ 9}\), znów \(\displaystyle{ 1}\) dalej i cyfry setek też muszą się sumować do \(\displaystyle{ 9}\) itd. Zatem cyfry na każdej pozycji z wyjątkiem cyfr jedności tych liczb muszą sumować się do \(\displaystyle{ 9}\), a cyfry jedności do \(\displaystyle{ 10}\), czyli \(\displaystyle{ A+B=999 \cdot 9+10}\), więc byłaby nieparzysta, sprzeczność dowodzi, że obie muszą się dzielić na \(\displaystyle{ 10}\).