Matematyka.pl

Witam. Mam problem z następującym zadaniem:

Niech \(\displaystyle{ \Gamma}\) będzie krzywą określoną we współrzędnych kartezjańskich warunkami \(\displaystyle{ x^{2}+ y^{2}=2x }\) i \(\displaystyle{ y \le 0}\). Wybierając dowolnie orientację krzywej \(\displaystyle{ \Gamma}\) obliczyć \(\displaystyle{ \int_{\Gamma}^{} (2x\ln(2y+7)+7 x^{3}) \dd x + (\frac{2 x^{2} }{2y+7}-16 y^{2}) \dd y }\)

Krzywa \(\displaystyle{ \Gamma }\) jest dolnym półokręgiem o równaniu \(\displaystyle{ (x-1)^2 +y^2 =1, \ \ y\leq 0 }\) wraz z jego średnicą .

Krzywą \(\displaystyle{ \Gamma }\) parametryzujemy za pomocą współrzędnych biegunowych.

Równania parametryczne tej krzywej wzdłuż okręgu możemy zapisać w postaci \(\displaystyle{ ... }\)

Równania parametryczne odcinka średnicy półokręgu \(\displaystyle{ ...}\)

Obliczamy całkę krzywoliniową skierowaną wzdłuż krzywej \(\displaystyle{ \Gamma}\) jako sumę dwóch całek - wzdłuż okręgu i wzdłuż średnicy, przyjmując dowolną orientację (dodatnią lub ujemną)

\(\displaystyle{ \int_{(\Gamma)} X dx + Ydy = \int_{\alpha}^{\beta}X(x,y)x^{'} + Y(x,y)y^{'} |_{x= x(t), y= y(t)} dt.}\)