Matematyka.pl

Dzień dobry
Nie wiem, czy mój tok rozumowania ma sens, czy może wychodzi mi tylko przypadkiem, więc proszę o pomoc.
Zadanie jest takie. \(\displaystyle{ \tg x +\ctg x =3}\) obliczyć \(\displaystyle{ |\tg x - \ctg x|}\).
Przekształcam dane równanie do \(\displaystyle{ \tg ^{2} x -3\tg x +1=0}\) i to ma wyróżnik \(\displaystyle{ \Delta= \sqrt{5} }\)
Uważam, że \(\displaystyle{ |\tg x - \ctg x|}\) to po prostu wartość bezwzględna różnicy pierwiastków równania kwadratowego czyli \(\displaystyle{ | \frac{\Delta }{a}|= \sqrt{5} }\) i według odpowiedzi to jest dobrze. Tylko pytanie, czy mój tok rozumowania ma sens.

Niepokonana pisze: 24 sie 2020, o 23:00 Uważam, że \(\displaystyle{ |\tg x - \ctg x|}\) to po prostu wartość bezwzględna różnicy pierwiastków równania kwadratowego

To bezzasadne rozumowanie. I tylko przypadek sprawił, iż wynik jest poprawny.
Policz oba pierwiastki i sprawdź ile dla każdego z nich wynosi szukana wartość.

Inaczej:
\(\displaystyle{
(\tg x +\ctg x)^2=9\\
\tg^2x+2\tg x\ctg x+\ctg^2x=9\\
\tg^2x-2\tg x\ctg x+\ctg^2x=9-4\tg x \ctg x\\
(\tg x -\ctg x)^2=9-4\\
\left| \tg x -\ctg x \right| = \sqrt{5} }\)

kerajs pisze:To bezzasadne rozumowanie. I tylko przypadek sprawił, iż wynik jest poprawny.

Co do pierwszego zdania się zgadzam (nie zostało to w żaden sposób uzasadnione przez Niepokonaną), co do drugiego, zdecydowanie się nie zgodzę i błędność tego zdania wynika ze wzorów Viete'a i tożsamości \(\displaystyle{ \tg x \cdot \ctg x=1}\). Przypadek to byłby na przykład w sytuacji, w której ktoś korzysta z nieprawdziwej własności \(\displaystyle{ \ln(a+b+c)=\ln a+\ln b+\ln c}\) i otrzymuje \(\displaystyle{ \ln(1+2+3)=\ln 1+\ln 2+\ln 3}\).

Niepokonana pisze: 24 sie 2020, o 23:00 Przekształcam dane równanie do \(\displaystyle{ \tg ^{2} x -3\tg x +1=0}\) i to ma wyróżnik \(\displaystyle{ \Delta= \sqrt{5} }\)

Dla większej czytelności wprowadzę zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ t=\tg x}\) , więc równanie ma postać: \(\displaystyle{ t^2-3t+1=0}\)

Niepokonana pisze: 24 sie 2020, o 23:00 Uważam, że \(\displaystyle{ |\tg x - \ctg x|}\) to po prostu wartość bezwzględna różnicy pierwiastków równania kwadratowego

czyli autorka całkowicie bezzasadnie zakłada, iż \(\displaystyle{ \ctg x= \frac{1}{\tg x}= \frac{1}{t_1}=t_2}\) .
Łatwo pokazać, że w równaniu kwadratowym \(\displaystyle{ at^2+bt+c=0}\) (dla niezerowych a,c i obu pierwiastków) zachodzi związek: \(\displaystyle{ \frac{1}{t_1}= \frac{a}{c} t_2 }\) . Dlatego, moim zdaniem, poprawność wyniku tutaj wynika jedynie z przypadkowej równości \(\displaystyle{ a=c}\)

Ponadto przypuszczam, że Niepokonana nie radząc sobie z zadaniem, zajrzała wpierw do odpowiedzi i do niej dobrała rozwiązanie:

Niepokonana pisze: 24 sie 2020, o 23:00 Uważam, że \(\displaystyle{ |\tg x - \ctg x|}\) to po prostu wartość bezwzględna różnicy pierwiastków równania kwadratowego

a wtedy faktycznie poprawność wyniku nie jest przypadkiem.

Ok, dziękuję za pomoc. Myślałam, że tak zachodzi, ale jednak nie zachodzi.

Akurat tak zachodzi, ale tego nie uzasadniłas

Nie róbmy kolejnego czterostronicowego wątku, w którym Pan będzie mi tłumaczył na przykładzie, jak się udowadnia twierdzenia, poprzez udowadnianie mi, że jestem głupia. Chociaż domyślam się, że może już być za późno.

Chodzi mi o to, że myślałam, że taka zależność zachodzi dla każdej równości z tangensem i cotangensem pierwszego stopnia, a okazuje się, że nie, że to zależy od czegoś innego. Teraz rozumiem. Mój tok rozumowania był błędny, bo założyłam i nie sprawdziłam. Pan kerajs już wszystko powiedział.