Matematyka.pl

Udowodnij, ̇ze jeśli \(\displaystyle{ f, g : A \to R}\) są funkcjami jednostajnie ciągłymi na A, to \(\displaystyle{ f + 5g }\) jest również funkcja jednostajnie ciągłą.
Chciałam rozbić to na dwie części, dowód tego że funkcja \(\displaystyle{ 5g }\) jest jednostajnie ciągła, a następnie dowód jednostajnej ciągłości funkcji jednostajnie ciągłych. Część pierwszą już udowodniłam, mam problem z drugą. Byłabym bardzo wdzięczna za pomoc

Napisz sobie warunek jednostajnej ciągłości dla funkcji \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\). Następnie napisz sobie warunek jednostajnej ciągłości dla funkcji \(\displaystyle{ f+g}\), który chcesz wykazać. To już praktycznie koniec, wystarczy użyć nierówności trójkąta. Jeśli nie możesz sobie z tym poradzić, to napisz tu jak próbujesz i gdzie się zacinasz / czego nie rozumiesz.

Hmm nie byłam pewna co do liniowości funkcji, ale z tego co piszesz rozumiem że to jest liniowe, jeszcze kwesta wynikania z \(\displaystyle{ \left| x-y\right| \le \delta}\) nie daje mi spokoju. Głównie z tym miałam problem
Wiem, że \(\displaystyle{ \wedge \epsilon \vee \delta \wedge x,y \left| x - y\right| \leq \delta \Rightarrow \left| f(x) - f(y) \right| \leq \epsilon }\) oraz
\(\displaystyle{ \wedge \epsilon \vee \delta \wedge x,y \left| x - y\right| \leq \delta \Rightarrow \left| g(x) - g(y) \right| \leq \epsilon }\).
Jeśli dodam stronami \(\displaystyle{ \left| f(x) - f(y) \right| \leq \epsilon/2 }\) i \(\displaystyle{ \left| g(x) - g(y) \right| \leq \epsilon/2}\) i to korzystając korzystając z nierówności trójkąta będę miała \(\displaystyle{ \left| (f+g)(x) - (f+g)(y)\right|\leq \epsilon }\), ale jak z tego wynika mi istenienie odpowiedniej \(\displaystyle{ \delta}\) dla mojego \(\displaystyle{ \epsilon}\)

Ustalmy sobie \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\). Z definicji jednostajnej ciągłości wynika, że istnieje taka \(\displaystyle{ \delta_1 >0}\), że dla każdej pary \(\displaystyle{ x,y \in A}\) zachodzi

\(\displaystyle{ |x-y| \le \delta_1 \implies |f(x) - f(y)| \le \frac{\varepsilon}{2}}\).

I teraz bardzo ważna sprawa. Funkcja \(\displaystyle{ g}\) to jest już nowa funkcja. Dla niej nie musi działać ta sama delta, co dla funkcji \(\displaystyle{ f}\). Dlatego pisząc dokładnie, istnieje taka \(\displaystyle{ \delta_2 >0}\), że dla każdej pary \(\displaystyle{ x,y \in A}\) zachodzi

\(\displaystyle{ |x-y| \le \delta_2 \implies |f(x) - f(y)| \le \frac{\varepsilon}{2}}\).

Teraz Twoim celem jest dobranie odpowiedniej \(\displaystyle{ \delta_3 >0}\) (naturalnie, musi być związana z \(\displaystyle{ \delta_1}\) i \(\displaystyle{ \delta_2 }\)), że jeśli weźmiesz dowolne \(\displaystyle{ x,y \in A}\) takie, że \(\displaystyle{ |x-y| \le \delta_3}\), to będzie zachodzić

\(\displaystyle{ |(f+g)(x) - (f+g)(y)| \le \varepsilon}\).

Same przejścia nie są trudne (nierówność trójkąta właściwie) i dobranie \(\displaystyle{ \delta_3}\) też nie jest trudne - musi być co najwyżej taka, aby były spełnione założenia dotyczące jednostajnej ciągłości funkcji \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\). Spróbuj ładnie to dopisać (czyli przejścia i jaka jest ta delta).

PS epsilon to /varepsilon

Dziękuję za pomoc