Matematyka.pl

Treść zadania:
Mamy przestrzeń metryczną \(\displaystyle{ (X, p)}\). Udowodnij, że dla dowolnych podzbiorów \(\displaystyle{ X}\): \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\) zachodzi \(\displaystyle{ \overline{A \cup B} = \overline{A} \cup \overline{B}}\).
Domyślam się, że należałoby rozbić powyższą równość na dwie inkluzje i pokazać, że dowolne elementy z jednego zbioru należą do drugiego zbioru. Jednakże przyznam, że słabo u mnie z intuicją w dowodach i nie bardzo widzę z czego mógłbym skorzystać, by to pokazać
Będę wdzięczny za każdą wskazówkę

Czy po prawej stronie równości nie występuje znak iloczynu zbiorów \(\displaystyle{ \cap }\) (iloczyn dopełnień) - zgodnie z prawem de Morgana dla zbiorów?

janusz47 pisze: 5 sie 2020, o 14:36 Czy po prawej stronie równości nie występuje znak iloczynu zbiorów \(\displaystyle{ \cap }\) (iloczyn dopełnień) - zgodnie z prawem de Morgana dla zbiorów?

Chodzi o domknięcie a nie dopełnienie

Nie są to synonimy ?

janusz47 pisze: 5 sie 2020, o 15:17Nie są to synonimy ?

Oczywiście że nie.

Odnośnie problemu - możesz skorzystać z faktu mówiącego, że \(\displaystyle{ y \in \overline{X}}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ U \cap X \neq \varnothing}\) dla każdego zbioru otwartego \(\displaystyle{ U}\) zawierającego \(\displaystyle{ y}\). W razie problemów przy dowodzie zawierania \(\displaystyle{ \overline{A \cup B} \subseteq \overline{A} \cup \overline{B}}\), spróbuj nie wprost.

Dasio11 pisze: 5 sie 2020, o 16:12

janusz47 pisze: 5 sie 2020, o 15:17Nie są to synonimy ?

Oczywiście że nie.

Odnośnie problemu - możesz skorzystać z faktu mówiącego, że \(\displaystyle{ y \in \overline{X}}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ U \cap X \neq \varnothing}\) dla każdego zbioru otwartego \(\displaystyle{ U}\) zawierającego \(\displaystyle{ y}\). W razie problemów przy dowodzie zawierania \(\displaystyle{ \overline{A \cup B} \subseteq \overline{A} \cup \overline{B}}\), spróbuj nie wprost.

Okej, mam zrobione na dwa sposoby - jeden wymyśliłem z Twoimi wskazówkami, drugi dostałem i chciałem zweryfikować oba rozwiązania.

(I):
Zacznijmy od zawierania \(\displaystyle{ \overline{A} \cup \overline{B} \subset \overline{A \cup B}}\).
Weźmy dowolny element \(\displaystyle{ x \in \overline{A} \cup \overline{B}}\). Z definicji zbioru domkniętego istnieje otoczenie punktu \(\displaystyle{ x}\), które oznaczymy jako \(\displaystyle{ V}\), takie, że \(\displaystyle{ x \in U \subset V}\), gdzie \(\displaystyle{ U \in T_X}\). Otrzymujemy więc, że \(\displaystyle{ U \cap (A \cup B) \neq \emptyset}\), a po zastosowaniu operacji na zbiorach dostajemy, że \(\displaystyle{ (U \cap A) \cup (U \cap B) \neq \emptyset}\).
Stąd wynika, że istnieje \(\displaystyle{ y \in (U \cap A) \cup (U \cap B)}\), a więc również \(\displaystyle{ y \in A \cup B}\) dla dowolnego otoczenia punktu \(\displaystyle{ x}\). Wobec tego dowolne otoczenie \(\displaystyle{ x}\) przecina \(\displaystyle{ A \cup B}\), więc \(\displaystyle{ x \in \overline{A \cup B}}\). Ostatecznie otrzymujemy, że \(\displaystyle{ \overline{A} \cup \overline{B} \subset \overline{A \cup B}}\).

To teraz zawieranie w drugą stronę, to jest \(\displaystyle{ \overline{A \cup B} \subset \overline{A} \cup \overline{B} }\). Spróbujmy nie wprost, czyli załóżmy, że \(\displaystyle{ \overline{A \cup B} \not\subset \overline{A} \cup \overline{B} }\).
Weźmy \(\displaystyle{ x \in \overline{A \cup B}}\). Z definicji domknięcia wiemy, że istnieje otoczenie \(\displaystyle{ V}\) punktu \(\displaystyle{ x}\) oraz kula \(\displaystyle{ U \in T_X}\) takie, że \(\displaystyle{ x \in U \subset V}\). Wobec tego \(\displaystyle{ U \cap (A \cup B) \neq \emptyset}\), a po przekształceniu \(\displaystyle{ (U \cap A) \cup (U \cap B) \neq \emptyset}\). Wynika stąd, że istnieje \(\displaystyle{ y \in A \cup B}\), a więc dowolne otoczenie \(\displaystyle{ x}\) przecina \(\displaystyle{ \overline{A}}\) lub \(\displaystyle{ \overline{B}}\) co jest sprzeczne z założeniem.

(II):
Druga wersja.
Wiemy, że \(\displaystyle{ A \cup B \subset \overline{A \cup B}}\). Zatem \(\displaystyle{ A \subset \overline{A \cup B}}\) oraz \(\displaystyle{ B \subset \overline{A \cup B}}\). Korzystając z domkniętości \(\displaystyle{ \overline{A \cup B}}\) mamy: \(\displaystyle{ \overline{A} \subset \overline{A \cup B}}\) oraz \(\displaystyle{ \overline{B} \subset \overline{A \cup B}}\). Stąd też \(\displaystyle{ \overline{A} \cup \overline{B} \subset \overline{A \cup B}}\).

Teraz odwrotnie. \(\displaystyle{ \overline{A \cup B}}\) jest zbiorem domkniętym, jako suma zbiorów domkniętych, a ponieważ \(\displaystyle{ A \cup B \subset \overline{A \cup B}}\), to \(\displaystyle{ \overline{A \cup B} \subset \overline{A} \cup \overline{B}}\).

Przyznam, że nie wiem, czy to, co napisałem w (I) jest w pełni poprawne, zwłaszcza drugie zawieranie. Byłbym wdzięczny za poprawki i przede wszystkim uwagi

W przestrzeni metrycznej masz jeszcze prościej: `x\in \overline{A}` wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg `x_n\in A` zbieżny do `x`.

Stąd trywialnie wynika, że `\overline{A}\cup\overline{B}\subset \overline{A\cup B}`.
Jeżeli natomiast `x\in\overline{A\cup B}` to w ciągu zbiegającym do `x` musi być podciąg zawarty w `A` lub podciąg zawarty w `B`, więc `x\in\overline{A} \vee x\in\overline{B}`.

Mając to na uwadze pokaż, że własność nie zachodzi dla przeliczalnych sum zbiorów.

a4karo pisze: 7 sie 2020, o 16:45 W przestrzeni metrycznej masz jeszcze prościej: `x\in \overline{A}` wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg `x_n\in A` zbieżny do `x`.

Stąd trywialnie wynika, że `\overline{A}\cup\overline{B}\subset \overline{A\cup B}`.
Jeżeli natomiast `x\in\overline{A\cup B}` to w ciągu zbiegającym do `x` musi być podciąg zawarty w `A` lub podciąg zawarty w `B`, więc `x\in\overline{A} \vee x\in\overline{B}`.

Mając to na uwadze pokaż, że własność nie zachodzi dla przeliczalnych sum zbiorów.

Okej, rozumiem ciągi oraz pierwszą inkluzję - z definicji mamy podciąg \(\displaystyle{ x_n \in A \cup B}\), a więc \(\displaystyle{ \overline{A} \cup \overline{B} \subset \overline{A \cup B}}\).
Druga inkluzja też okej. A co do zadanego przez Ciebie problemu - chodzi o to, że \(\displaystyle{ \overline{ \bigcup_{n \in \mathbb{N}}^{} A_n} \neq \bigcup_{n \in \mathbb{N}}^{}\overline{A_n} }\)?

Gods_Eater pisze: 7 sie 2020, o 15:42Weźmy dowolny element \(\displaystyle{ x \in \overline{A} \cup \overline{B}}\). Z definicji zbioru domkniętego istnieje otoczenie punktu \(\displaystyle{ x}\), które oznaczymy jako \(\displaystyle{ V}\), takie, że \(\displaystyle{ x \in U \subset V}\), gdzie \(\displaystyle{ U \in T_X}\).

Jakaż to definicja i którego zbioru domkniętego miałaby dać taki wniosek?

Gods_Eater pisze: 7 sie 2020, o 15:42Otrzymujemy więc, że \(\displaystyle{ U \cap (A \cup B) \neq \emptyset}\)

Tak można by napisać, gdyby iks należał do domknięcia sumy, a przecież tego dopiero dowodzisz.

Gods_Eater pisze: 7 sie 2020, o 15:42Z definicji domknięcia wiemy, że istnieje otoczenie \(\displaystyle{ V}\) punktu \(\displaystyle{ x}\) oraz kula \(\displaystyle{ U \in T_X}\) takie, że \(\displaystyle{ x \in U \subset V}\).

Doradzałbym powtórkę z definicji, bo póki co to jakaś czarna magia.

Gods_Eater pisze: 7 sie 2020, o 15:42a więc dowolne otoczenie \(\displaystyle{ x}\) przecina \(\displaystyle{ \overline{A}}\) lub \(\displaystyle{ \overline{B}}\) co jest sprzeczne z założeniem.

Z jakim założeniem jest to sprzeczne?

Gods_Eater pisze: 7 sie 2020, o 15:42 (II):
Wiemy, że \(\displaystyle{ A \cup B \subset \overline{A \cup B}}\). Zatem \(\displaystyle{ A \subset \overline{A \cup B}}\) oraz \(\displaystyle{ B \subset \overline{A \cup B}}\). Korzystając z domkniętości \(\displaystyle{ \overline{A \cup B}}\) mamy: \(\displaystyle{ \overline{A} \subset \overline{A \cup B}}\) oraz \(\displaystyle{ \overline{B} \subset \overline{A \cup B}}\). Stąd też \(\displaystyle{ \overline{A} \cup \overline{B} \subset \overline{A \cup B}}\).

Teraz odwrotnie. \(\displaystyle{ \overline{A \cup B}}\) jest zbiorem domkniętym, jako suma zbiorów domkniętych, a ponieważ \(\displaystyle{ A \cup B \subset \overline{A \cup B}}\), to \(\displaystyle{ \overline{A \cup B} \subset \overline{A} \cup \overline{B}}\).

Pierwsze zawieranie w porządku, w drugim trzeba zamienić \(\displaystyle{ \overline{A \cup B}}\) na \(\displaystyle{ \overline{A} \cup \overline{B}}\) i odwrotnie.

Gods_Eater pisze: 7 sie 2020, o 17:17
Druga inkluzja też okej. A co do zadanego przez Ciebie problemu - chodzi o to, że \(\displaystyle{ \overline{ \bigcup_{n \in \mathbb{N}}^{} A_n} \neq \bigcup_{n \in \mathbb{N}}^{}\overline{A_n} }\)?

Tak

Dasio11 pisze: 7 sie 2020, o 17:18

Gods_Eater pisze: 7 sie 2020, o 15:42Weźmy dowolny element \(\displaystyle{ x \in \overline{A} \cup \overline{B}}\). Z definicji zbioru domkniętego istnieje otoczenie punktu \(\displaystyle{ x}\), które oznaczymy jako \(\displaystyle{ V}\), takie, że \(\displaystyle{ x \in U \subset V}\), gdzie \(\displaystyle{ U \in T_X}\).

Jakaż to definicja i którego zbioru domkniętego miałaby dać taki wniosek?

Faktycznie. Zbiór \(\displaystyle{ \overline{A}}\) jest domknięciem zbioru \(\displaystyle{ A}\) w przestrzeni topologicznej \(\displaystyle{ X}\), wtedy, gdy jest zbiorem punktów \(\displaystyle{ x \in X}\) takich, że dowolne otoczenie punktu \(\displaystyle{ x}\) przecina \(\displaystyle{ A}\) - taka jest definicja. I faktycznie widzę, że ta definicja nijak ma się do tego, co napisałem, bo owa definicja nie dotyczy sum ani przekrojów zbiorów, prawda?

Dasio11 pisze: 7 sie 2020, o 17:18

Gods_Eater pisze: 7 sie 2020, o 15:42Otrzymujemy więc, że \(\displaystyle{ U \cap (A \cup B) \neq \emptyset}\)

Tak można by napisać, gdyby iks należał do domknięcia sumy, a przecież tego dopiero dowodzisz.

Prawda, czyli generalnie jest to złe. Czy w takim wypadku nie należy rozważyć przypadków osobno? Mam na myśli zamiast należenia do sumy domknięć, to rozdzielić na przypadki, gdy raz element należy do jednego domknięcia, a potem do następnego domknięcia.

Dasio11 pisze: 7 sie 2020, o 17:18

Gods_Eater pisze: 7 sie 2020, o 15:42Z definicji domknięcia wiemy, że istnieje otoczenie \(\displaystyle{ V}\) punktu \(\displaystyle{ x}\) oraz kula \(\displaystyle{ U \in T_X}\) takie, że \(\displaystyle{ x \in U \subset V}\).

Doradzałbym powtórkę z definicji, bo póki co to jakaś czarna magia.

Tutaj akurat nie rozumiem - możesz mi wytłumaczyć? Skoro \(\displaystyle{ x \in \overline{A \cup B}}\) - czyli iks należy do zbioru domkniętego, to możemy znaleźć takie otoczenie tego punktu, że przekrój ze zbiorem \(\displaystyle{ \overline{A \cup B}}\) będzie niepuste.

Dasio11 pisze: 7 sie 2020, o 17:18

Gods_Eater pisze: 7 sie 2020, o 15:42a więc dowolne otoczenie \(\displaystyle{ x}\) przecina \(\displaystyle{ \overline{A}}\) lub \(\displaystyle{ \overline{B}}\) co jest sprzeczne z założeniem.

Z jakim założeniem jest to sprzeczne?

Prawda, tutaj mocno namieszałem i w zasadzie nie wiem, jak przy pomocy zaprzeczania pokazać, że osiągniemy sprzeczność.

Dasio11 pisze: 7 sie 2020, o 17:18

Gods_Eater pisze: 7 sie 2020, o 15:42 (II):
Wiemy, że \(\displaystyle{ A \cup B \subset \overline{A \cup B}}\). Zatem \(\displaystyle{ A \subset \overline{A \cup B}}\) oraz \(\displaystyle{ B \subset \overline{A \cup B}}\). Korzystając z domkniętości \(\displaystyle{ \overline{A \cup B}}\) mamy: \(\displaystyle{ \overline{A} \subset \overline{A \cup B}}\) oraz \(\displaystyle{ \overline{B} \subset \overline{A \cup B}}\). Stąd też \(\displaystyle{ \overline{A} \cup \overline{B} \subset \overline{A \cup B}}\).

Teraz odwrotnie. \(\displaystyle{ \overline{A \cup B}}\) jest zbiorem domkniętym, jako suma zbiorów domkniętych, a ponieważ \(\displaystyle{ A \cup B \subset \overline{A \cup B}}\), to \(\displaystyle{ \overline{A \cup B} \subset \overline{A} \cup \overline{B}}\).

Pierwsze zawieranie w porządku, w drugim trzeba zamienić \(\displaystyle{ \overline{A \cup B}}\) na \(\displaystyle{ \overline{A} \cup \overline{B}}\) i odwrotnie.

Rozwiniesz myśl? Mam z tym pewne, widoczne zresztą, problemy.

a4karo pisze: 7 sie 2020, o 17:27

Gods_Eater pisze: 7 sie 2020, o 17:17
Druga inkluzja też okej. A co do zadanego przez Ciebie problemu - chodzi o to, że \(\displaystyle{ \overline{ \bigcup_{n \in \mathbb{N}}^{} A_n} \neq \bigcup_{n \in \mathbb{N}}^{}\overline{A_n} }\)?

Tak

Postaram się to jeszcze dzisiaj ruszyć, jak już tylko uporam się z bieżącym problemem braku zrozumienia pewnych definicji

Gods_Eater pisze: 7 sie 2020, o 19:02Faktycznie. Zbiór \(\displaystyle{ \overline{A}}\) jest domknięciem zbioru \(\displaystyle{ A}\) w przestrzeni topologicznej \(\displaystyle{ X}\), wtedy, gdy jest zbiorem punktów \(\displaystyle{ x \in X}\) takich, że dowolne otoczenie punktu \(\displaystyle{ x}\) przecina \(\displaystyle{ A}\) - taka jest definicja. I faktycznie widzę, że ta definicja nijak ma się do tego, co napisałem, bo owa definicja nie dotyczy sum ani przekrojów zbiorów, prawda?

Po pierwsze zauważ, że podałeś teraz definicję nie zbioru domkniętego (której chciałeś wcześniej użyć w dowodzie), tylko domknięcia zbioru, a to różnica. Bycie zbiorem domkniętym jest cechą, którą może mieć bądź nie mieć każdy podzbiór przestrzeni metrycznej. Domknięcie zaś jest operacją, która każdemu podzbiorowi owej przestrzeni przypisuje pewien jego domknięty nadzbiór (a mianowicie: najmniejszy taki nadzbiór w sensie zawierania).

Po drugie - nie można skorzystać z takiej definicji nie mówiąc nic o domykanym zbiorze. Na przykład niemożliwe jest, by skorzystać z definicji domknięcia zbioru \(\displaystyle{ A \cup B}\), nie wspominając przy tym słowem o zbiorze \(\displaystyle{ A \cup B}\).

Gods_Eater pisze: 7 sie 2020, o 19:02Czy w takim wypadku nie należy rozważyć przypadków osobno? Mam na myśli zamiast należenia do sumy domknięć, to rozdzielić na przypadki, gdy raz element należy do jednego domknięcia, a potem do następnego domknięcia.

Tak właśnie należy zrobić. W efekcie rozumowanie będzie identyczne, jak gdybyś pokazywał osobno zawierania \(\displaystyle{ \overline{A} \subseteq \overline{A \cup B}}\) i \(\displaystyle{ \overline{B} \subseteq \overline{A \cup B}}\).

Gods_Eater pisze: 7 sie 2020, o 19:02

Dasio11 pisze: 7 sie 2020, o 17:18

Gods_Eater pisze: 7 sie 2020, o 15:42Z definicji domknięcia wiemy, że istnieje otoczenie \(\displaystyle{ V}\) punktu \(\displaystyle{ x}\) oraz kula \(\displaystyle{ U \in T_X}\) takie, że \(\displaystyle{ x \in U \subset V}\).

Doradzałbym powtórkę z definicji, bo póki co to jakaś czarna magia.

Skoro \(\displaystyle{ x \in \overline{A \cup B}}\) - czyli iks należy do zbioru domkniętego, to możemy znaleźć takie otoczenie tego punktu, że przekrój ze zbiorem \(\displaystyle{ \overline{A \cup B}}\) będzie niepuste.

Raczej: skoro iks należy do domknięcia \(\displaystyle{ A \cup B}\) (które skądinąd jest zbiorem domkniętym, ale nie to jest tu ważne), to dla każdego otoczenia \(\displaystyle{ U}\) elementu \(\displaystyle{ x}\) przekrój \(\displaystyle{ (A \cup B) \cap U}\) będzie niepusty. W dowodzie napisałeś coś bardzo innego, w szczególności: nie wspomniałeś o przekroju czegokolwiek z \(\displaystyle{ A \cup B}\).

Żeby poprawnie użyć tej definicji, musisz najpierw wziąć skądś jakieś otoczenie otwarte punktu \(\displaystyle{ x}\) (skąd? - na tym między innymi polega trudność w dowodzie), a wtedy będzie Ci wolno wywnioskować z tejże definicji, że \(\displaystyle{ U \cap (A \cup B)}\) jest zbiorem niepustym. Podpowiem, że w tym momencie nastąpi sprzeczność.

Gods_Eater pisze: 7 sie 2020, o 19:02Prawda, tutaj mocno namieszałem i w zasadzie nie wiem, jak przy pomocy zaprzeczania pokazać, że osiągniemy sprzeczność.

Zacznij od założenia nie wprost: skoro \(\displaystyle{ \overline{A \cup B} \not \subseteq \overline{A} \cup \overline{B}}\), to istnieje element, który o tym zaświadcza. Czyli taki element \(\displaystyle{ x}\), który należy do zbioru po lewej stronie, ale nie należy do zbioru po prawej.

Gods_Eater pisze: 7 sie 2020, o 19:02Rozwiniesz myśl? Mam z tym pewne, widoczne zresztą, problemy.

Poprawka wygląda tak:

Teraz odwrotnie. \(\displaystyle{ \overline{A} \cup \overline{B}}\) jest zbiorem domkniętym, jako suma zbiorów domkniętych, a ponieważ \(\displaystyle{ A \cup B \subset \overline{A} \cup \overline{B}}\), to \(\displaystyle{ \overline{A \cup B} \subset \overline{A} \cup \overline{B}}\).

Druga wersja dowodu (II) jest dla wtajemniczonych - z jednej strony bardzo wygodna i szybka, ale z drugiej dająca niewiele intuicji odnośnie dowodzonego zjawiska. Dlatego też zaproponowałem wersję z otoczeniami, bo w niej z grubsza widać, co się dzieje.

Dasio11 pisze: 7 sie 2020, o 20:59 Po pierwsze zauważ, że podałeś teraz definicję nie zbioru domkniętego (której chciałeś wcześniej użyć w dowodzie), tylko domknięcia zbioru, a to różnica. Bycie zbiorem domkniętym jest cechą, którą może mieć bądź nie mieć każdy podzbiór przestrzeni metrycznej. Domknięcie zaś jest operacją, która każdemu podzbiorowi owej przestrzeni przypisuje pewien jego domknięty nadzbiór (a mianowicie: najmniejszy taki nadzbiór w sensie zawierania).

Po drugie - nie można skorzystać z takiej definicji nie mówiąc nic o domykanym zbiorze. Na przykład niemożliwe jest, by skorzystać z definicji domknięcia zbioru \(\displaystyle{ A \cup B}\), nie wspominając przy tym słowem o przekroju czegoś z \(\displaystyle{ A \cup B}\).

Okej, rozumiem różnicę i z czego to wynika

Dasio11 pisze: 7 sie 2020, o 20:59 Tak właśnie należy zrobić. W efekcie rozumowanie będzie identyczne, jak gdybyś pokazywał osobno zawierania \(\displaystyle{ \overline{A} \subseteq \overline{A \cup B}}\) i \(\displaystyle{ \overline{B} \subseteq \overline{A \cup B}}\).

Czyli zawieranie \(\displaystyle{ \overline{A} \cup \overline{B} \subset \overline{A \cup B}}\) będzie wyglądało tak:
Weźmy element \(\displaystyle{ x \in \overline{A}}\), który należy do domknięcia zbioru \(\displaystyle{ A}\). Z definicji domknięcia zbioru wiemy, że dla każdego otoczenia \(\displaystyle{ U}\) elementu \(\displaystyle{ x}\) przekrój \(\displaystyle{ U \cap A}\) jest niepusty. Oczywistym jest, że \(\displaystyle{ U \cap A \subset U \cap (A \cup B)}\), a także zbiór \(\displaystyle{ U \cap (A \cup B)}\) jest niepusty, bo zawiera w sobie niepusty podzbiór. Wobec tego każde otoczenie \(\displaystyle{ U}\) elementu \(\displaystyle{ x}\) ma niepusty przekrój ze zbiorem \(\displaystyle{ A \cup B}\). W takim razie \(\displaystyle{ x \in \overline{A \cup B}}\), a więc mamy \(\displaystyle{ \overline{A} \subset \overline{A \cup B}}\).
I teraz w sposób analogiczny dowodzimy, że \(\displaystyle{ \overline{B} \subset \overline{A \cup B}}\). Ostatecznie skoro \(\displaystyle{ \overline{A} \subset \overline{A \cup B}}\) oraz \(\displaystyle{ \overline{B} \subset \overline{A \cup B}}\), to \(\displaystyle{ \overline{A} \cup \overline{B} \subset \overline{A \cup B}}\).
Mam nadzieję, że nie namieszałem tu

Dasio11 pisze: 7 sie 2020, o 20:59 Raczej: skoro iks należy do domknięcia \(\displaystyle{ A \cup B}\) (które skądinąd jest zbiorem domkniętym, ale nie to jest tu ważne), to dla każdego otoczenia \(\displaystyle{ U}\) elementu \(\displaystyle{ x}\) przekrój \(\displaystyle{ (A \cup B) \cap U}\) będzie niepusty. W dowodzie napisałeś coś bardzo innego, w szczególności: nie wspomniałeś o przekroju czegokolwiek z \(\displaystyle{ A \cup B}\).

Żeby poprawnie użyć tej definicji, musisz najpierw wziąć skądś jakieś otoczenie otwarte punktu \(\displaystyle{ x}\) (skąd? - na tym między innymi polega trudność w dowodzie), a wtedy będzie Ci wolno wywnioskować z tejże definicji, że \(\displaystyle{ U \cap (A \cup B)}\) jest zbiorem niepustym. Podpowiem, że w tym momencie nastąpi sprzeczność.

Okej, to teraz spróbuję zawierania w drugą stronę, to jest \(\displaystyle{ \overline{A \cup B} \subset \overline{A} \cup \overline{B}}\).
Przypuśćmy nie wprost, że \(\displaystyle{ \overline{A \cup B} \not\subset \overline{A} \cup \overline{B}}\).
Wówczas weźmy sobie taki element \(\displaystyle{ x \in \overline{A \cup B}}\), który należy do domknięcia zbioru \(\displaystyle{ A \cup B}\), ale nie należy do \(\displaystyle{ \overline{A} \cup \overline{B}}\). Z definicji domknięcia zbioru \(\displaystyle{ A \cup B}\) wiemy, że dla każdego otoczenia \(\displaystyle{ U}\) elementu \(\displaystyle{ x}\) przekrój \(\displaystyle{ U \cap (A \cup B)}\) jest niepusty. Po odpowiednim przekształceniu dostajemy \(\displaystyle{ (U \cap A) \cup (U \cap B) \neq \emptyset}\). Z tego wynika, że przynajmniej jeden z przekrojów jest niepusty. Ale skoro jeden z tych przekrojów jest niepusty, to oznacza, że każde otoczenie \(\displaystyle{ U}\) elementu \(\displaystyle{ x}\) przecina któryś ze zbiorów, a więc zachodzi \(\displaystyle{ x \in \overline{A}}\) lub \(\displaystyle{ x \in \overline{B}}\), ale jednocześnie jest oczywistym, że \(\displaystyle{ \overline{A} \subset \overline{A} \cup \overline{B}}\) oraz \(\displaystyle{ \overline{B} \subset \overline{A} \cup \overline{B}}\). A to prowadzi do sprzeczności, gdyż z założenia element \(\displaystyle{ x}\) nie należy do sumy domknięć tych zbiorów. Wobec tego musi być \(\displaystyle{ \overline{A \cup B} \subset \overline{A} \cup \overline{B}}\).

Dasio11 pisze: 7 sie 2020, o 20:59

Gods_Eater pisze: 7 sie 2020, o 19:02Rozwiniesz myśl? Mam z tym pewne, widoczne zresztą, problemy.

Poprawka wygląda tak:

Teraz odwrotnie. \(\displaystyle{ \overline{A} \cup \overline{B}}\) jest zbiorem domkniętym, jako suma zbiorów domkniętych, a ponieważ \(\displaystyle{ A \cup B \subset \overline{A} \cup \overline{B}}\), to \(\displaystyle{ \overline{A \cup B} \subset \overline{A} \cup \overline{B}}\).

Druga wersja dowodu (II) jest dla wtajemniczonych - z jednej strony bardzo wygodna i szybka, ale z drugiej dająca niewiele intuicji odnośnie dowodzonego zjawiska. Dlatego też zaproponowałem wersję z otoczeniami, bo w niej z grubsza widać, co się dzieje.

Tak coś myślałem, że jest to rozwiązanie wygodniejsze, ale trudniejsze do zrozumienia dla laika

Odnośnie \(\displaystyle{ \overline{A} \cup \overline{B} \subseteq \overline{A \cup B}}\): dowód byłby nieco czytelniejszy, gdybyś w odpowiednim momencie ustalił dowolne otoczenie \(\displaystyle{ U}\) elementu \(\displaystyle{ x}\) a potem tylko o nim pisał. Tak jak jest teraz formalnie nie wiadomo, o jakim zbiorze \(\displaystyle{ U}\) orzekasz kolejne własności, ale ponieważ można się tego domyślić, uznałbym ten dowód za poprawny.

Może wyjaśnię to głębiej: na poziomie akademickim dowody matematyczne przeprowadza się w zgodzie z pewnymi ścisłymi schematami. Na przykład gdy wykazujemy, że każdy obiekt \(\displaystyle{ x}\) ma pewną własność, to dowód takiej tezy zawsze powinien się zaczynać od ustalenia dowolnego obiektu \(\displaystyle{ x}\), a potem uzasadniać, że ów \(\displaystyle{ x}\) faktycznie ma żądaną własność. Taki sposób dowodzenia powoduje, że rozumowania mają bardzo przejrzystą strukturę i łatwo weryfikować ich poprawność. Dlatego wszelkie odstępstwa od tych schematów w dowodach powodują u czytających je matematyków dyskomfort, nawet gdy rozumowanie zasadniczo wygląda na poprawne.


Odnośnie drugiego zawierania, zastanów się jeszcze nad tym przejściem:

Gods_Eater pisze: 8 sie 2020, o 14:40każde otoczenie \(\displaystyle{ U}\) elementu \(\displaystyle{ x}\) przecina któryś ze zbiorów, a więc zachodzi \(\displaystyle{ x \in \overline{A}}\) lub \(\displaystyle{ x \in \overline{B}}\)

Dasio11 pisze: 8 sie 2020, o 17:25 Odnośnie \(\displaystyle{ \overline{A} \cup \overline{B} \subseteq \overline{A \cup B}}\): dowód byłby nieco czytelniejszy, gdybyś w odpowiednim momencie ustalił dowolne otoczenie \(\displaystyle{ U}\) elementu \(\displaystyle{ x}\) a potem tylko o nim pisał. Tak jak jest teraz formalnie nie wiadomo, o jakim zbiorze \(\displaystyle{ U}\) orzekasz kolejne własności, ale ponieważ można się tego domyślić, uznałbym ten dowód za poprawny.

Może wyjaśnię to głębiej: na poziomie akademickim dowody matematyczne przeprowadza się w zgodzie z pewnymi ścisłymi schematami. Na przykład gdy wykazujemy, że każdy obiekt \(\displaystyle{ x}\) ma pewną własność, to dowód takiej tezy zawsze powinien się zaczynać od ustalenia dowolnego obiektu \(\displaystyle{ x}\), a potem uzasadniać, że ów \(\displaystyle{ x}\) faktycznie ma żądaną własność. Taki sposób dowodzenia powoduje, że rozumowania mają bardzo przejrzystą strukturę i łatwo weryfikować ich poprawność. Dlatego wszelkie odstępstwa od tych schematów w dowodach powodują u czytających je matematyków dyskomfort, nawet gdy rozumowanie zasadniczo wygląda na poprawne.

Okej, czyli tuż po ustaleniu elementu \(\displaystyle{ x}\) i wzmianki o korzystaniu z definicji powinienem zapisać coś w stylu "weźmy dowolne otoczenie \(\displaystyle{ U}\)". Wtedy byśmy dowodzili na konkretnym elemencie \(\displaystyle{ x}\) oraz dowolnym, ale ustalonym otoczeniu tego elementu.

Dasio11 pisze: 8 sie 2020, o 17:25 Odnośnie drugiego zawierania, zastanów się jeszcze nad tym przejściem:

Gods_Eater pisze: 8 sie 2020, o 14:40każde otoczenie \(\displaystyle{ U}\) elementu \(\displaystyle{ x}\) przecina któryś ze zbiorów, a więc zachodzi \(\displaystyle{ x \in \overline{A}}\) lub \(\displaystyle{ x \in \overline{B}}\)

Tutaj wydaje mi się, że poprawnie byłoby dodać, że skoro \(\displaystyle{ (U \cap A) \cup (U \cap B)}\) jest niepusty, to wtedy przekrój \(\displaystyle{ U \cap A }\) jest niepusty lub drugi z przekrojów jest niepusty. A stąd mamy, że \(\displaystyle{ x \in \overline{A}}\) lub \(\displaystyle{ x \in \overline{B}}\).