Matematyka.pl

Cześć,
mam takie zadanie i nie jestem pewien odpowiedzi, jeżeli mogę kogoś prosić o weryfikację czy wytłumaczenie w razie błędy będę niezmiernie wdzięczny.

Treść:
Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład normalny o wartości średniej \(\displaystyle{ 0}\) oraz odchyleniu standardowym \(\displaystyle{ 0,1}\).
Wyznacz prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P(X^2 < 0,0025)}\).

Moja odpowiedź:
\(\displaystyle{ N(0; \space 0,1)}\)

\(\displaystyle{ Y = \frac{X-0}{0,1} - N(0;\space 1)}\)

\(\displaystyle{ P(X^2 < 0,0025) \rightarrow X > -0,05 \space \space lub \space \space X < 0,05}\)

\(\displaystyle{ P(X > -0,05) = 1 - \left(\frac{-0,05 - 0}{0,1}\right) = 1 - \Phi\left(-\frac{1}{2}\right) = 1 - \left[1 - \Phi\left(\frac{1}{2}\right)\right] = 1 - \left[1 - 0,6915\right] = 1 - 0,3085 = 0,6915}\)

\(\displaystyle{ P(X < 0,05) = \left(\frac{0,05 - 0}{0,1}\right) = \Phi\left(\frac{1}{2}\right) = 0,6915}\)

\(\displaystyle{ P(X^2 < 0,0025) = 0,6915 + 0,6915 = 1,383}\)

\(\displaystyle{ P(X^2 < 0,0025) \notin (0; \space 1)}\)

Nie wiem, czy to zadanie zrobiłem dobrze, jeśli gdzieś jest błąd proszę o napisanie, w którym miejscu się pomyliłem.

strawberry pisze: 22 lip 2020, o 10:54

\(\displaystyle{ P(X^2 < 0,0025) \rightarrow X > -0,05 \space \space lub \space \space X < 0,05}\)

To przejście jest niepoprawne. Powinno być \(\displaystyle{ \mathbf{P}\left(X^{2}<0,0025\right)=\mathbf{P}(X>-0,05\wedge X<0,05)}\). Dalej błąd propagował…
Czy skoro stwierdziłeś, że wyszło Ci prawdopodobieństwo większe od jedynki, to nie dostrzegasz sam, że coś na pewno jest źle?

Dziękuję za szybką odpowiedź, myślałem, że jest jakiś haczyk w tym zadaniu, a zatem, czy teraz to zadanie jest poprawnie?
\(\displaystyle{ P(X > -0,05) = \left(\frac{-0,05 - 0}{0,1}\right) = \Phi\left(-\frac{1}{2}\right) = 1 - \Phi\left(\frac{1}{2}\right) = 1 - 0,6915 = 0,3085}\)

\(\displaystyle{ P(X < 0,05) = 1 - \left(\frac{0,05 - 0}{0,1}\right) = 1 - \Phi\left(\frac{1}{2}\right) = 0,3085}\)

\(\displaystyle{ P(X^2 < 0,0025) = 0,3085 + 0,3085 = 0,6170}\)

Nie jest poprawnie. Powinno być tak:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left(X^{2}<0,0025\right)\\=\mathbf{P}\left(-0,05<X\wedge X<0,05\right)\\=\mathbf{P}(X<0,05)-\mathbf{P}(X\le -0, 05)\\=\mathbf{P}\left(\frac{X-0}{0,1}<\frac{0,05-0}{0,1}\right)-\mathbf{P}\left(\frac{X-0}{0,1}\le -\frac{0,05-0}{0,1}\right)\\=\Phi\left(\frac{1}{2}\right)-\Phi\left(-\frac{1}{2}\right)=2\Phi\left(\frac{1}{2}\right)-1\approx 2\cdot 0,6915-1=0,383}\)


Chyba widzę, na czym polega problem, przyjmujesz złą definicję dystrybuanty, sądząc po podstawianych przez Ciebie liczbach (gdyż to, co otrzymałeś, to dokładnie \(\displaystyle{ 1-\text{poprawny wynik}}\)).
\(\displaystyle{ \Phi(x)=\mathbf{P}(X\le x)=\mathbf{P}(X<x)}\), gdy \(\displaystyle{ X\sim \mathcal{N}(0,1)}\), nie zaś \(\displaystyle{ \Phi(x)=\mathbf{P}(X>x)}\).

Aha, już rozumiem, wyłożyłem się na takiej prostej rzeczy... Dziękuję serdecznie za pomoc