Matematyka.pl

Witam. Nie mogę sobie poradzić z przekształceniami związanymi z gradientem.
Mamy:
\(\displaystyle{ \vec{r} (t) = \vec{ r_{1} } - \vec{ r_{2} } (t) }\)
oraz
\(\displaystyle{ t = t' + \frac{r(t)}{c} }\)

Wartość skalarną wektora \(\displaystyle{ \vec{r} (t) }\) zapiszę w elementarnej postaci:
\(\displaystyle{ r(t) = \sqrt{ ( x_{1} - x_{2} (t) )^{2} + ( y_{1} - y_{2} (t) )^{2} +( z_{1} - z_{2} (t) )^{2}} }\)

gdzie:
\(\displaystyle{ \vec{ r_{1} } = [x _{1} ; y _{1} ; z _{1} ] }\)
\(\displaystyle{ \vec{ r _{2}} (t) = [x _{2} (t) ; y _{2} (t) ; z _{2} (t) ] }\)

Teraz chciałbym zadziałać gradientem na skalar \(\displaystyle{ r(t)}\)
\(\displaystyle{ \nabla r(t) = ? }\)

Poniżej moje błędne wyliczenia:
\(\displaystyle{ \nabla r(t) = \frac{ \partial }{ \partial x} \sqrt{ ( x_{1} - x_{2} (t) )^{2} + ( y_{1} - y_{2} (t) )^{2} +( z_{1} - z_{2} (t) )^{2}} \cdot \vec{i} + \frac{ \partial }{ \partial y} \sqrt{ ( x_{1} - x_{2} (t) )^{2} + ( y_{1} - y_{2} (t) )^{2} +( z_{1} - z_{2} (t) )^{2}} \cdot \vec{j} + \frac{ \partial }{ \partial z} \sqrt{ ( x_{1} - x_{2} (t) )^{2} + ( y_{1} - y_{2} (t) )^{2} +( z_{1} - z_{2} (t) )^{2}} \cdot \vec{k} }\)
Zajmując się najpierw pierwszym wyrazem, otrzymuję:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial }{ \partial x} \sqrt{ ( x_{1} - x_{2} (t) )^{2} + ( y_{1} - y_{2} (t) )^{2} +( z_{1} - z_{2} (t) )^{2}} \cdot \vec{i} = \frac{ \frac{ \partial }{ \partial x} [ ( x_{1} - x_{2} (t) )^{2} + ( y_{1} - y_{2} (t) )^{2} +( z_{1} - z_{2} (t) )^{2} ] }{2 \sqrt{ ( x_{1} - x_{2} (t) )^{2} + ( y_{1} - y_{2} (t) )^{2} +( z_{1} - z_{2} (t) )^{2}}} \cdot \vec{i} = \frac{2 \frac{ \partial }{ \partial x} [x_{1} - x_{2} (t) ]+ 2 \frac{ \partial }{ \partial x}[ y_{1} - y_{2} (t)] + 2 \frac{ \partial }{ \partial x} [z_{1} - z_{2} (t)] }{2 r(t)} \cdot \vec{i}
= \frac{1 - \frac{1}{c} \frac{ \dd x _{2} (t) }{ \dd t } \cdot \frac{ \partial }{ \partial x} r(t) - \frac{1}{c} \frac{ \dd y _{2} (t) }{ \dd t } \cdot \frac{ \partial }{ \partial x} r(t) - \frac{1}{c} \frac{ \dd z _{2} (t) }{ \dd t } \cdot \frac{ \partial }{ \partial x} r(t) }{ r(t)} \vec{i} }\)
Drugi wyraz będzie identyczny:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial }{ \partial y} \sqrt{ ( x_{1} - x_{2} (t) )^{2} + ( y_{1} - y_{2} (t) )^{2} +( z_{1} - z_{2} (t) )^{2}} \cdot \vec{j} = \frac{ - \frac{1}{c} \frac{ \dd x _{2} (t) }{ \dd t } \cdot \frac{ \partial }{ \partial y} r(t) + 1 - \frac{1}{c} \frac{ \dd y _{2} (t) }{ \dd t } \cdot \frac{ \partial }{ \partial y} r(t) - \frac{1}{c} \frac{ \dd z _{2} (t) }{ \dd t } \cdot \frac{ \partial }{ \partial y} r(t) }{ r(t)} \vec{j} }\)
Oraz trzeci wyraz:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial }{ \partial z} \sqrt{ ( x_{1} - x_{2} (t) )^{2} + ( y_{1} - y_{2} (t) )^{2} +( z_{1} - z_{2} (t) )^{2}} \cdot \vec{k} = \frac{ - \frac{1}{c} \frac{ \dd x _{2} (t) }{ \dd t } \cdot \frac{ \partial }{ \partial z} r(t) - \frac{1}{c} \frac{ \dd y _{2} (t) }{ \dd t } \cdot \frac{ \partial }{ \partial z} r(t) + 1 - \frac{1}{c} \frac{ \dd z _{2} (t) }{ \dd t } \cdot \frac{ \partial }{ \partial z} r(t) }{ r(t)} \vec{k} }\)

Łącząc fakty:
\(\displaystyle{ \nabla r(t) = \frac{1 - \frac{1}{c} \frac{ \dd x _{2} (t) }{ \dd t } \cdot \frac{ \partial }{ \partial x} r(t) - \frac{1}{c} \frac{ \dd y _{2} (t) }{ \dd t } \cdot \frac{ \partial }{ \partial x} r(t) - \frac{1}{c} \frac{ \dd z _{2} (t) }{ \dd t } \cdot \frac{ \partial }{ \partial x} r(t) }{ r(t)} \vec{i} + \frac{ - \frac{1}{c} \frac{ \dd x _{2} (t) }{ \dd t } \cdot \frac{ \partial }{ \partial y} r(t) + 1 - \frac{1}{c} \frac{ \dd y _{2} (t) }{ \dd t } \cdot \frac{ \partial }{ \partial y} r(t) - \frac{1}{c} \frac{ \dd z _{2} (t) }{ \dd t } \cdot \frac{ \partial }{ \partial y} r(t) }{ r(t)} \vec{j} + \frac{ - \frac{1}{c} \frac{ \dd x _{2} (t) }{ \dd t } \cdot \frac{ \partial }{ \partial z} r(t) - \frac{1}{c} \frac{ \dd y _{2} (t) }{ \dd t } \cdot \frac{ \partial }{ \partial z} r(t) + 1 - \frac{1}{c} \frac{ \dd z _{2} (t) }{ \dd t } \cdot \frac{ \partial }{ \partial z} r(t) }{ r(t)} \vec{k} }\)
Nieco grupując:
\(\displaystyle{ \nabla r = \frac{ \vec{i} + \vec{j} + \vec{k} }{r} - \frac{1}{r} \cdot \left[ \frac{ \dd x _{2} }{ \dd t } + \frac{ \dd y _{2} }{ \dd t } + \frac{ \dd z _{2} }{ \dd t } \right] \cdot \frac{ \nabla r}{c} }\)

Poprawny wynik powinien wyglądać, jak poniżej:
\(\displaystyle{ \vec{\nabla} (r) = \frac{\vec{r}}{r}-\frac{\vec{r}}{r}\cdot\frac{d\vec{r}_{2}}{d t}\bigg(\frac{-\vec{\nabla} (r)}{c}\bigg) }\)

Moje wyliczenia są bardzo bliskie poprawnemu wynikowi, jednak wie ktoś gdzie zrobiłem błąd?
Wydaje mi się, że nie do końca zrozumiałem tę sytuację:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial }{ \partial x} x _{1} \cdot \vec{i} = ? }\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial }{ \partial x } x _{2} (t) \cdot \vec{i} = ? }\)

Proszę o pomoc. Pozdrawiam

Yaroo10 pisze: 17 lip 2020, o 12:40\(\displaystyle{ t = t' + \frac{r(t)}{c} }\)

Możesz wyjaśnić tę równość?

Yaroo10 pisze: 17 lip 2020, o 12:40 Teraz chciałbym zadziałać gradientem na skalar \(\displaystyle{ r(t)}\)
\(\displaystyle{ \nabla r(t) = ? }\)

Poniżej moje błędne wyliczenia:
\(\displaystyle{ \nabla r(t) = \frac{ \partial }{ \partial x} \sqrt{ ( x_{1} - x_{2} (t) )^{2} + ( y_{1} - y_{2} (t) )^{2} +( z_{1} - z_{2} (t) )^{2}} \cdot \vec{i} + \frac{ \partial }{ \partial y} \sqrt{ ( x_{1} - x_{2} (t) )^{2} + ( y_{1} - y_{2} (t) )^{2} +( z_{1} - z_{2} (t) )^{2}} \cdot \vec{j} + \frac{ \partial }{ \partial z} \sqrt{ ( x_{1} - x_{2} (t) )^{2} + ( y_{1} - y_{2} (t) )^{2} +( z_{1} - z_{2} (t) )^{2}} \cdot \vec{k} }\)

Na pewno chodzi o wyliczenie gradientu \(\displaystyle{ r(t)}\)? Skoro jest to funkcja idąca z \(\displaystyle{ \RR}\) w \(\displaystyle{ \RR}\), to gradient jest zwyczajną pochodną takiej funkcji, czyli liczbą, a nie wektorem o trzech współrzędnych. Nie ma też sensu różniczkować czegokolwiek po \(\displaystyle{ x, y, z}\), skoro jedyną zmienną jest \(\displaystyle{ t}\).

Problem wziął się z próby wyprowadzenia równania Heaviside-Feynman'a. Poniżej załączam link do strony, gdzie pewna osoba ukazuje wzór na owy gradient, nie pokazując jednak jego wyprowadzenia.

Może ktoś z tego forum, dałby radę to okiełznać i wyprowadzić ten gradient?

równanie:
\(\displaystyle{ \displaystyle{ t = t' + \frac{r(t)}{c} }}\)
jest to relacja czasu teraźniejszego i opóźnionego podczas obserwacji poruszającego się punktu z odległości \(\displaystyle{ r(t)}\)
\(\displaystyle{ t}\) -> czas teraźniejszy
\(\displaystyle{ t'}\) -> czas opóźniony
\(\displaystyle{ \frac{r(t)}{c} }\) -> opóźnienie wynikające z odległości

Sytuacja, jest nieco zawiła...

Sytuacja wygląda tak: z czysto matematycznego punktu widzenia w Twoim pytaniu brakuje podstawowych informacji, bez których niemożliwie jest zrozumienie pytania ani tym bardziej udzielenie odpowiedzi. Nie da się obliczyć gradientu funkcji nie znając jej dziedziny i wzoru. Jeśli wyprowadzenie wzoru jest częścią problemu, to i tak wątpię by dało się to zrobić bez dokładnego opisu: które wielkości są stałe a które są zmienne; które z nich są podstawowe a które są funkcjami innych i w jaki sposób od nich zależą.

Niewykluczone że brakujące dane potrafi odgadnąć osoba znająca się na fizyce i wiedząca czym są "wzór Heaviside'a-Feynmana" i "potencjał Lienarda-Wiecherta", ale na pewno nie każdy przeciętny matematyk.

Widzę więc dwie możliwości: albo opiszesz swój problem precyzyjnie pod względem matematycznym, tak żeby pytanie stało się sensowne w oderwaniu od jakiegokolwiek kontekstu fizycznego, albo też pozostanie Ci liczyć na pomoc osoby z wykształceniem fizycznym, która zna kontekst i będzie potrafiła zrozumieć pytanie w jego obecnej postaci.

Osoba o której wspominasz napisała na stackexchange:

I realized that I was computing my gradient with respect to \(\displaystyle{ \vec{r}_1}\) wrongly.

Czyli oblicza gradient względem położenia \(\displaystyle{ \vec{r}_1}\), co oznacza, że różniczkować trzeba względem \(\displaystyle{ x_1, y_1}\) i \(\displaystyle{ z_1}\).

Temat już rozwiązany i przede wszystkim zrozumiany. Jeśli ktoś chciałby się o tym dowiedzieć, piszcie w tym poście.