Matematyka.pl

Jak uzasadnić, że funkcja \(\displaystyle{ f(z)= z^{2} }\) nie przekształca konforemnie \(\displaystyle{ D(0,1) \setminus (-1, -\frac{1}{2} ]}\) na \(\displaystyle{ D(0,1) \setminus [ \frac{1}{4},1) }\)

Pochodna \(\displaystyle{ f}\) zeruje się w punkcie 0 więc nie może być tam konforemna i można to tutaj tak uzasadnić.

Niech \(\displaystyle{ a=0}\), \(\displaystyle{ b= i t}\), \(\displaystyle{ c=(1+i)t}\) będą wierzchołkami trójkąta . Tangens kąta \(\displaystyle{ \angle acb}\) jest 1. \(\displaystyle{ f}\) przekształca ten trójkąt w trójkąt \(\displaystyle{ a'b'c'}\) o wierzchołkach \(\displaystyle{ a'=0}\), \(\displaystyle{ b'=-t^2}\), \(\displaystyle{ c'=2i t^2}\). Tangens kąta \(\displaystyle{ \angle a'c'b'}\) jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2} }\), więc kąty nie zawsze są zachowywane.

Argument niedobry - obrazem takiego trójkąta nie jest nawet trójkąt. Poza tym rozważanie zmiany kątów w punkcie \(\displaystyle{ (1+i)t}\) nie daje szans na obalenie konforemności, bo w tym punkcie pochodna jest niezerowa.

Natomiast polecenie jest dosyć dziwne, bo funkcja \(\displaystyle{ f}\) w ogóle nie przekształca obszaru \( D(0, 1) \setminus \big( -1, -\frac{1}{2} \big] \) w \( D(0, 1) \setminus \big[ \frac{1}{4}, 1 \big) \) - wystarczy obliczyć \( f \big( \frac{1}{2} \big) \), by się o tym przekonać.

Dasio11 pisze: 25 lip 2020, o 10:16 (...)Poza tym rozważanie zmiany kątów w punkcie \(\displaystyle{ (1+i)t}\) nie daje szans na obalenie konforemności, bo w tym punkcie pochodna jest niezerowa.
...

Przepraszam, miałem na myśli \(\displaystyle{ \lim_{ t\to 0} (trojkat)}\). Wszystko dzieje się w punkcie zero. Nie wspomniałem wcześniej bo \(\displaystyle{ t}\) się w tangensie skróciło. Podobno \(\displaystyle{ z^2}\) jest generalnie konforemne wyrzycając zero. A zero w zbiorze jest.

W takim razie rozumowanie wymaga gruntownej poprawy, bo póki co kąt jest liczony w punkcie \(\displaystyle{ (1+i)t}\), który - mimo że dąży do zera - zerem nie jest.