Matematyka.pl

To chyba odpowiedni dział na moje pytanie.
Wytłumaczcie mi proszę jedną rzecz. Wiem dobrze jaki sens ma przedział ufności jako pewna funkcja losowa: jest to taki losowy przedział, że z p-stwem co najmniej \(\displaystyle{ 1-\alpha}\) pokryje nieznany parametr. Czyli trochę innymi słowy: przed zebraniem danych i wylosowaniem tego przedziału, mieliśmy p-stwo co najmniej \(\displaystyle{ 1-\alpha}\), że przedział, który wyliczymy pokryje nieznany parametr.

A jaki jest sens przedziału ufności po jego wyliczeniu? Jaką informację on z sobą niesie? Bo tutaj już przecież nie mamy żadnej losowości i nie możemy powiedzieć, że on z p-stwem co najmniej \(\displaystyle{ 1-\alpha}\) pokrywa nieznany parametr.

Jest to przedział, który z prawdopodobieństwem (z ufnością) \(\displaystyle{ 1 -\alpha }\) pokrywa nieznaną wartość parametru w odniesieniu nie tylko do próby \(\displaystyle{ n- }\) elementowej ale całej rozpatrywanej populacji.

Otóż nie. Tutaj na stronie 77: możesz przeczytać w skrypcie do statystyki:
Jeśli obliczone z próbki wartości statystyk są równe, powiedzmy, \(\displaystyle{ \underline{g}=5}\) i \(\displaystyle{ \overline{g}=8,}\) to nie ma sensu sformułowanie "wielkość \(\displaystyle{ g(\theta)}\) należy do przedziału [5,8] z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1-\alpha}\)!. Doświadczenie losowe już zostało wykonane i zakończyło się albo "sukcesem" (to znaczy zaszło zdarzenie losowe \(\displaystyle{ g(\theta) \in [\underline{g}, \overline{g}]}\)) lub "porażką" (\(\displaystyle{ g \notin [\underline g , \overline g] }\) ). Osobliwość sytuacji polega na tym, że nie wiemy, która z tych ewentualności ma miejsce.

Mówisz o dwóch różnych rzeczach o prawdopodobieństwie zajścia i niezajścia zdarzenia.

Ja podałam interpretację otrzymanego przedziału ufności o końcach \(\displaystyle{ [L,\ \ P ] }\)

Interpretację przedziału ufności przenosimy zawsze z próby na całą populację, w której estymujemy nieznaną wartość parametru \(\displaystyle{ \theta. }\)

Zapoznaj się na przykład z materiałami pomocniczymi Statystyka Andrzeja Luszniewicza lub skryptem Statystyka Barbary Rószkiewicz z WSH.

Ale twierdzisz, że jak na podstawie próby obliczysz przedział ufności na poziomie ufności 0,95 i dostaniesz np. [6,10] to znaczy, że masz p-stwo 95% że prawdziwy parametr należy do przedziału [6,10]? A jak powtórzysz doświadczenie i dostaniesz przy tym samym poziomie istotności przedział np. [6,5;9,5], to co wtedy? Wtedy powiesz, ze z p-stwem 95% należy do przedziału [6,5;9,5]?

Jak otrzymasz przedział ufności o końcach np \(\displaystyle{ [6,\ \ 10] }\) z \(\displaystyle{ 1- \alpha = 0,95 }\) to go interpretujesz:

" Z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,95}\) należy oczekiwać że przedział o końcach \(\displaystyle{ 6, 10 }\) należy do podzbioru tych przedziałów ufności, które pokryją na przykład wariancję importu owoców południowych wszystkich ( a nie tylko \(\displaystyle{ 25 }\) firm prywatnych) zajmujących się importem owoców południowych".

Jeśli powtórzysz doświadczenie na tej samej próbie \(\displaystyle{ n = 25 }\) firm, to możesz otrzymać inny przedział ufności na przykład o końcach \(\displaystyle{ [6,5, \ \ 9,5]}\) (należący do podzbioru tych przedziałów ufności, które pokryją wariancję importu owoców południowych) i interpretujesz go w ten sam sposób.

Ok, czyli zmieniłaś swoją interpretację przedziału ufności. Poprzednio podawałaś taką:

beatrycze pisze: 2 lip 2020, o 20:19 Jest to przedział, który z prawdopodobieństwem (z ufnością) \(\displaystyle{ 1 -\alpha }\) pokrywa nieznaną wartość parametru w odniesieniu nie tylko do próby \(\displaystyle{ n- }\) elementowej ale całej rozpatrywanej populacji.

Właśnie zrozumiałem, dlaczego ta interpretacja jest zła. Jeżeli na podstawie próby wyliczysz np. przedział ufności [6,10] na poziomie ufności 0,95 to twierdzenie, że z p-stwem 95% należy do niego nieznany parametr w notacji matematycznym zapisuje się Lewa strona tego równania to zapis typu Moim zdaniem on ma sens tylko jeśli zdefiniujesz sobie zmienne losowe tożsamościowo równe 5 i 6:
\(\displaystyle{ X(\omega):=5,\ Y(\omega):=6 }\) (co jest chyba oczywiste, że tak należy interpretować tego typu zapis).
Zatem zapis typu (w klasycznej statystyce, nie bayesowskiej) ma sens tylko jeśli interpretujesz 6 i 10 jako zmienne losowe tożsamościowo równe 6 i 10. Ale w dalszym ciągu p-stwo może być równe tylko 1, albo 0 (w zależności od tego, czy \(\displaystyle{ g(\theta)}\) należy do przedziału [6,10], czy nie należy. I to nie może być równe np. 0,95.

Natomiast interpretacja

Jak otrzymasz przedział ufności o końcach np [6, 10] z \(\displaystyle{ 1−α=0,95}\) to go interpretujesz:

" Z prawdopodobieństwem 0,95 należy oczekiwać że przedział o końcach 6,10 należy do podzbioru tych przedziałów ufności, które pokryją na przykład wariancję importu owoców południowych wszystkich" ( a nie tylko 25 firm prywatnych) zajmujących się importem owoców południowych".

również jest błędna. Bo tutaj Twoj przedział [6,10] jest wielkością stałą, a nie losową. Więc nawet jak by go interpretować jako "zmienną losową" równą tożsamościowo [6,10] to i tak jest to zdanie typu (pomijając kwestię tego jak należałoby zdefiniować tutaj przestrzeń probabilistyczną i p-stwo na niej) lub
Takie coś nie może być równe 0,95. Takie coś może być równe tylko 0 albo 1.

Nic nie zmieniałam. Nie rozumiesz praktycznej interpretacji przedziału ufności. Posługujesz się teorią.

W praktyce statystycznej wzorując się na tym przykładzie, znajdujemy przedziały ufności\(\displaystyle{ [L_{i}, \ \ P_{i}] }\) dla różnych wartości \(\displaystyle{ p_{i}= 1 -\alpha_{i}, \ \ i = 1,2,..., m, \ \ n = 25. }\) Obliczamy dla każdego z nich błąd bezwzględny \(\displaystyle{ \Delta_{S}}\) i względny przybliżenia \(\displaystyle{ \delta_{S}}\). Przyjmujemy przedział ufności \(\displaystyle{ [ L^{*}, \ \ P^{*}] }\) dla wartości średnich \(\displaystyle{ \Delta \overline{S}, \ \ \delta \overline{S}. }\) Przyjmujemy jako precyzje tego przybliżenia odchylenie standardowe \(\displaystyle{ D_{\overline{S}}.}\)

beatrycze pisze: 3 lip 2020, o 16:06Nic nie zmieniałam. Nie rozumiesz praktycznej interpretacji przedziału ufności. Posługujesz się teorią.

No tak, bo ta "klasyczna" interpretacja nie ma sensu Nie można mówić o p-stwie po wyliczeniu przedziału ufności. O p-stwie możemy mówić tylko przed wyliczeniem przedziału ufności, czyli gdy mamy jakieś \(\displaystyle{ [\underline g , \overline g ] }\), gdzie \(\displaystyle{ \underline g }\) i \(\displaystyle{ \overline g }\) są zmiennymi losowymi, a nie liczbami.

Mimo wszystko dziękuję Ci za dyskusję. Była ona dla mnie pożyteczna. Teraz dajmy się wypowiedzieć innym forumowiczom (będę wdzięczny za wszelkie wypowiedzi).

Cześć, masz rację. Nie możemy tu mówić o prawdopodobieństwie. I dlatego właśnie wprowadzono pojęcie przedziału ufności

A można to interpretować w ten sposób, że jak byś estymował przedział ufności wielokrotnie na nowo wylosowanej próbie, to z częstością około \(\displaystyle{ 1- \alpha }\) prawdziwa wartość parametru trafiałaby w te przedziały. Dodam, że taką procedurę stosuje się do określenia, czy faktycznie ta częstość, dla zadanych wartości parametrów rozkładu i próby jest zgodna z wartością założoną. Bo może tak być, że np. dla małej liczności próby rozkład dla krańców przedziałów nie zbiegł jeszcze do rozkładu graniczengo. Przykładowy świetny artykuł w tym temacie:


Może popłynę, ale zinterpretowałbym to jeszcze tak, że otrzymany przedział ufności jest estymatorem wartości oczekiwanej losowego przedziału który pokrywa prawdziwy parametr z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 1- \alpha }\).