Matematyka.pl

Wiadomo, że szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }\) o wyrazach dodatnich jest rozbieżny. Udowodnić, że szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{S_n} }\) też jest rozbieżny, gdzie \(\displaystyle{ S_n= \sum_{i=1}^{n}a_i }\).

Idzie z warunku Cauchy'ego zbieżności szeregów. Dla dowolnego \(n\) istnieje \(m\), że zachodzi przykładowo \(S_m>2S_n\) (ze względu na to, że \(S_n\to\infty\)). Wtedy zauważmy, że \(\sum_{k=n+1}^{m}\frac{a_k}{S_k}\geqslant\sum_{k=n+1}^{m}\frac{a_k}{S_m}=1-\frac{S_n}{S_m}>\frac{1}{2}\).

Można też skorzystać z nierówności \(x>\ln(x+1)\) dla \(x>0\). Wtedy:
\(\frac{a_n}{S_n}>\ln\left(1+\frac{a_n}{S_n}\right)=\ln S_{n+1}-\ln S_n\) i teraz pododawać, zwinąć sumę teleskopową, i koniec.