Matematyka.pl

Znaleźć wartość oczekiwaną zmiennej losowej opisanej funkcją prawdopodobieństwa:

\(\displaystyle{ P(X = n) = (1-p)^{n-1}p}\)

Czy to będzie:

\(\displaystyle{ E(X) = \frac{p}{1-p} \sum_{k=1}^n k(1-p)^k}\)

Wartość oczekiwana zmiennej losowej o rozkładzie geometrycznym

\(\displaystyle{ E(X) = \sum_{n=1}^{\infty} n (1-p)^{n-1} p = p\left( \sum_{n=1}^{\infty} (1-p)^{n-1} + \sum_{n=2}^{\infty} (1-p)^{n-1} +\sum_{n=3}^{\infty} (1-p)^{n-1}+...\right) = ....= \frac{1}{p} }\)

W nawiasie (...) zapisz sumy szeregów geometrycznych i uprość.

Dodano po 1 godzinie 2 minutach 45 sekundach:
Drugi sposób- różniczkowanie szeregu geometrycznego.

\(\displaystyle{ E(X) = p \sum_{n=1}^{\infty} n(1- p)^{n-1} = p \left(- \frac{d}{dp} \sum_{n=1}^{\infty}(1-p)^{n} \right) = -p\frac{d}{dp} \left (\frac{1-p}{1 -(1-p)} \right) =....= \frac{1}{p}. }\)