Relacje miedzy x i y

[Kamil510]

Witam,
mam takie zadanie, ze \(\displaystyle{ x}\) jest w relacji z \(\displaystyle{ y}\), gdy ich iloczyn \(\displaystyle{ x\cdot y > 0}\). W relacjach sie bada trzy rzeczy, czyli zwrotnosc, symetrycznosc i przechodniosc.

Zwrotna bedzie, gdyz dwie pomnozone liczby dodatnie sa wieksze od zera i tak samo dwie liczby ujemne.

Mam pytanie odnosnie symetrycznosci i przechodniosci. W symetrycznosci \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\) moga byc takie same? Wtedy bylaby symetryczna. Nastomiast nie wiem jak wyznaczyc przechodniosc tej relacji.

Prosze o pomoc

[a4karo]

Nie napisałeś na jakim zbiorze kąta ta relacja, ale jeżeli na `\RR`, to nie jest zwrotna.

Do badania pozostałych musisz wziąć dowolne elementy, a nie tylko równe

[Jan Kraszewski]

mam takie zadanie, ze \(\displaystyle{ x}\) jest w relacji z \(\displaystyle{ y}\), gdy ich iloczyn \(\displaystyle{ x\cdot y > 0}\).

Brakuje informacji, na jakim zbiorze zadana jest ta relacja.

W relacjach sie bada trzy rzeczy, czyli zwrotnosc, symetrycznosc i przechodniosc.

W relacjach bada się bardzo różne rzeczy. Nie pofatygowałeś się, by podać polecenie, które było związane z tą relacją, choć należy się domyślać, iż chodzi o sprawdzenie, czy jest to relacja równoważności.

Zwrotna bedzie, gdyz dwie pomnozone liczby dodatnie sa wieksze od zera i tak samo dwie liczby ujemne.

Istotnie z tego korzystamy, ale argument powinien wyglądać nieco inaczej. No i oczywiście ta relacja jest zwrotna tylko na niektórych zbiorach, ale jak należy się domyślać (bo nie napisałeś tego) ta relacja jest rozważana na zbiorze \(\displaystyle{ \RR\setminus\{0\}}\).

Mam pytanie odnosnie symetrycznosci i przechodniosci. W symetrycznosci \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\) moga byc takie same?

Czy mógłbyś wyrażać się nieco jaśniej?

Wtedy bylaby symetryczna. Nastomiast nie wiem jak wyznaczyc przechodniosc tej relacji.

Symetria tej relacji wynika natychmiast z przemienności mnożenia. Natomiast przechodniość pokazuje się wprost z definicji - ustalasz dowolne \(\displaystyle{ x,y,z\in\RR\setminus\{0\}}\) takie, że \(\displaystyle{ xy>0}\) i \(\displaystyle{ yz>0}\). Wówczas \(\displaystyle{ 0<xy\cdot yz=xy^2 z}\) i dzieląc stronami przez \(\displaystyle{ y^2}\) dostajemy \(\displaystyle{ xz>0}\), czego należało dowieść.

JK

[Kamil510]

Relacja jest na zbiorze liczb rzeczywistych bez zera.

Dodano po 18 minutach 1 sekundzie:
Czyli jeszcze raz - jak wyznaczyc symetrycznosc? Znalazlem warunek, dla ktorego ta nierownosc nie jest prawdziwa np. (-2) * 2 < 0. Wychodzi na to, ze nie bedzie symetryczna.

[Jakub Gurak]

Natomiast przechodniość pokazuje się wprost z definicji - ustalasz dowolne \(\displaystyle{ x,y,z\in\RR\setminus\{0\}}\) takie, że \(\displaystyle{ xy>0}\) i \(\displaystyle{ yz>0}\). Wówczas \(\displaystyle{ 0<xy\cdot yz=xy^2 z}\) i dzieląc stronami przez \(\displaystyle{ y^2}\) dostajemy \(\displaystyle{ xz>0}\), czego należało dowieść.

JK

Wypadałoby dodać, że \(\displaystyle{ y ^{2} \neq 0 }\), bo \(\displaystyle{ y \neq 0.}\)

[Jan Kraszewski]

Wypadałoby dodać, że \(\displaystyle{ y ^{2} \neq 0 }\), bo \(\displaystyle{ y \neq 0.}\)

Skoro założyłeś, że \(\displaystyle{ y\in\RR \setminus \{0\}}\), to dzielenie przez \(\displaystyle{ y^2}\) nie jest niczym złym - nie przesadzajmy w drobiazgowości.

Czyli jeszcze raz - jak wyznaczyc symetrycznosc?

Przecież Ci napisałem: definicja + przemienność mnożenia.

Znalazlem warunek, dla ktorego ta nierownosc nie jest prawdziwa np. \(\displaystyle{ (-2) \cdot 2 < 0}\). Wychodzi na to, ze nie bedzie symetryczna.

Ten "warunek" oznacza, że zupełnie nie rozumiesz definicji, którą próbujesz stosować. Zacznij może od zrozumienia, co oznacza definicja symetrii relacji.

JK

[Jakub Gurak]

Skoro założyłeś, że \(\displaystyle{ y\in\RR \setminus \{0\}}\), to dzielenie przez \(\displaystyle{ y^2}\) nie jest niczym złym - nie przesadzajmy w drobiazgowości

Tak, ale to należy koniecznie zapisać. Bo przy dzieleniu nic Pan nie napisał czy mianownik nie jest zerem. A skoro Pan nie zapisał, to wygląda na to że Pan nie sprawdził czy mianownik nie jest zerem (oczywiście ja od początku wierzyłem, że Pan to sprawdził tylko nie zapisał ). A gdyby Pan nie sprawdził czy mianownik nie jest zerem, to skąd pewność że nie jest?? Tu nie chodzi o moją drobiazgowość.

Piszę Pan rozwiązanie prawdopodobnie studentowi pierwszego roku, chyba Pan chcę aby studenci sprawdzali wszystkie niezbędne rzeczy??

Nauka robienia skrótów myślowych to nie jest najlepsza droga dla studentów pierwszego roku (ja w ogóle jestem temu całkowicie przeciwny, uważam to za niestaranność i wygodnictwo wykładowców,... ale mniejsza o to).

[a4karo]

Nie, nie trzeba o tym pisać, bo zostało to opisane w założeniach. Jeżeli rozwiązujesz zadanie i nie pamiętasz o założeniach, to może lepiej wcale się za nie nie brać.

[Dasio11]

Tak, ale to należy koniecznie zapisać.

Nie, nie trzeba.

Dobry dowód matematyczny to taki, w którym każde przejście jest dla czytelnika oczywiste lub łatwe do sprawdzenia. Skoro mowa jest o dowodzie przechodniości relacji, co jest już domeną matematyki akademickiej, to założenie że czytelnik wie przy jakich założeniach wolno dzielić nierówność stronami i że potrafi sprawdzić prawdziwość tych założeń - jest oczywistością.

Nauka robienia skrótów myślowych to nie jest najlepsza droga dla studentów pierwszego roku (ja w ogóle jestem temu całkowicie przeciwny, uważam to za niestaranność i wygodnictwo wykładowców,... ale mniejsza o to).

A gdzie w tym wypadku widzisz skrót myślowy?

[Jan Kraszewski]

Nauka robienia skrótów myślowych to nie jest najlepsza droga dla studentów pierwszego roku (ja w ogóle jestem temu całkowicie przeciwny, uważam to za niestaranność i wygodnictwo wykładowców,... ale mniejsza o to).

Z całym szacunkiem, ale przesadna drobiazgowość prowadzi do tego, że dowód staje się niestrawny, co nierzadko zdarza się Twoim dowodom.

To co na pierwszym roku student matematyki powinien zrozumieć to to, że w dowodzie każde przejście powinien umieć uzasadnić oraz to, które z tych przejść trzeba niezbędnie w dowodzie wyjaśnić na piśmie. Na samym początku można mu kazać uzasadniać każde przejście (żeby wyrobił sobie pewien nawyk), później należy postarać się, by nauczył się rozpoznawać istotne przejścia.

JK

[Jakub Gurak]

ale przesadna drobiazgowość prowadzi do tego, że dowód staje się niestrawny, co nierzadko zdarza się Twoim dowodom.

Przyznam, że co najmniej raz sam to zaobserwowałem. Jak chciałem zrobić dowód dokladny, że z Lematu Zorna wynika twierdzenie Zermelo, to zrobiło się to bardzo zawiłe. Z drugiej strony, jeśli w danym przejściu jest wiele skrótów myślowych, to ciężko brakujący dowód "wyczarować". Ale może jestem mało zdolny. Np. to, co Dasio11 napisał w trzech linijkach w podobnym dowodzie, mi przestudiowanie tego zajęło około dwie i pół godziny, (i to z trudem, ale się udało). Zaletą w miarę dokładnych dowodów jest to, że wiadomo co trzeba przestudiować, wszystko jest kawa na ławę, nie ma kłopotu: "skąd to się wzięło"- wystarczy przestudiować, dobrze się czyta. No ale, może dla wykładowców wszystko co trzeba sprawdzić jest oczywiste, a ja może jestem mało zdolny, i tylko się nadaje do logiki matematycznej.

A z dzieleniu przez zmienną- zawsze sprawdzam czy nie jest zerem, i to zapisuje, nie jest to magiczny rytuał (jak mogą myśleć studenci) bezmyślnego pisania \(\displaystyle{ x \neq 0}\), tylko wykluczenie sytuacji, że zmienną jest zerem, gdyż w przeciwnym razie oczywiście mogłoby to prowadzić do błędów.

Zdecydowanie dużo bardziej wolę studiować dowód, który mam podany "kawa na ławę" (to też wymaga samodzielnego studiowania, aby go zrozumieć), niż kombinować aby zrozumieć "skąd to się wzięło", wtedy ciężko dowód "wyczarować" skoro nie jest podany.

[a4karo]

I może łatwo masz takie kłopoty. Przywiązujesz przesadną wagę do szczegółów, które na pewnym etapie nauki matematyki są oczywiste. Nie wiem skąd to wynika, ale na pewno strasznie przeszkadza przy analizie rzeczywistego problemu.

[Dasio11]

Np. to, co Dasio11 napisał w trzech linijkach w podobnym dowodzie, mi przestudiowanie tego zajęło około dwie i pół godziny, (i to z trudem, ale się udało).
[...]
Zdecydowanie dużo bardziej wolę studiować dowód, który mam podany "kawa na ławę" (to też wymaga samodzielnego studiowania, aby go zrozumieć), niż kombinować aby zrozumieć "skąd to się wzięło", wtedy ciężko dowód "wyczarować" skoro nie jest podany.

Dowody, w których szczegółowo uzasadnia się każde najdrobniejsze przejście, mają kilka zasadniczych wad:

- rozrastają się do monstrualnych rozmiarów, a ich pisanie i czytanie ociera się o masochizm;
- są dla początkujących mniej rozwijające, niż gdyby mieli oni sami uzupełnić szczegóły;
- idea dowodu, czyli często jego najbardziej wartościowy element, zostaje ukryta w gąszczu mało ważnych przejść technicznych.

Dlatego wymaganie od kogokolwiek, by pisał takie właśnie dowody, uważam za bardzo zły pomysł - stoję na stanowisku, że należy raczej szukać złotego środka między szczegółowością dowodu a jego zwięzłością, tak by zmaksymalizować przejrzystość. Nie jest to oczywiście łatwe zadanie, tym bardziej że ów złoty środek mocno zależy od poziomu czytelnika, który rzadko kiedy jest dokładnie znany autorowi, nie wspominając już o sytuacji, gdy czytelników jest większa liczba.

Jeśli zaś kiedyś uznasz, że własne próby uzupełnienia szczegółów Cię nie wzbogacają, bądź też nie potrafisz tego zrobić w skończonym czasie (co jest zupełnie naturalne i zdarza się każdemu), to przecież wystarczy poprosić o wyjaśnienie.