Całka skierowana

Różniczkowanie i całkowanie pól wektorowych. Formy różniczkowe i całkowanie form. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe. Twierdzenie Greena, Stokesa itp. Interpretacja całek krzywoliniowych i powierzchniowych i ich zastosowania.
Roshita
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 96
Rejestracja: 14 kwie 2020, o 20:16
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 28 razy

Całka skierowana

Post autor: Roshita » 29 cze 2020, o 19:58

\(\displaystyle{ \iint_{K}(2xy^3z^3-3x^2y^2) \dd x + (3x^2y^2z^2-2x^3y) \dd y +2x^2y^3z \dd z}\) Gdzie krzywa ma opis parametryczny \(\displaystyle{ x=\sin^{10} t(3 \sin t +1)^ \frac{1}{2}, y= \cos^7t + 1, z= \cos t - \sin t , t \in [0, \frac{\pi}{2}] }\)
Myślałam, ze pójdzie przez potencjał, ale \(\displaystyle{ \frac{ \partial P}{ \partial y}=6xy^2z^3-6x^2y }\) a \(\displaystyle{ \frac{ \partial Q}{ \partial x} =6xy^2z^2-6x^2y}\), czyli nie są sobie równe... Siłowo mogło by to nie pójść za przyjemnie, a nie mam pomysłu czym to jeszcze ugryźć.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7658
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 232 razy
Pomógł: 3019 razy

Re: Całka skierowana

Post autor: kerajs » 29 cze 2020, o 22:09

Roshita pisze:
29 cze 2020, o 19:58
\(\displaystyle{ \iint_{K}(2xy^3z^3-3x^2y^2) \dd x + (3x^2y^2z^2-2x^3y) \dd y +2x^2y^3z \dd z}\)
Sprawdź czy w zadanie nie było takie:
\(\displaystyle{ \int_{K}(2xy^3z^{\color{red}{2}}}\)\(\displaystyle{ -3x^2y^2) \dd x + (3x^2y^2z^2-2x^3y) \dd y +2x^2y^3z \dd z}\)
co od razu dałoby wynik:
\(\displaystyle{ \int_{K}(2xy^3z^2-3x^2y^2) \dd x + (3x^2y^2z^2-2x^3y) \dd y +2x^2y^3z \dd z=\int_{K}(x^2y^3z^2-x^3y^2+C)'=\\=x^2y^3z^2-x^3y^2 \bigg|_{t=0}^{ \frac{ \pi }{2} } =...}\)

Jeśli dobrze przepisałaś to niestety podstawiasz parametryzację (i odpowiednie różniczki) i walczysz z tasiemcami.

Roshita
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 96
Rejestracja: 14 kwie 2020, o 20:16
Płeć: Kobieta
wiek: 21
Podziękował: 28 razy

Re: Całka skierowana

Post autor: Roshita » 30 cze 2020, o 05:42

kerajs pisze:
29 cze 2020, o 22:09
Roshita pisze:
29 cze 2020, o 19:58
\(\displaystyle{ \iint_{K}(2xy^3z^3-3x^2y^2) \dd x + (3x^2y^2z^2-2x^3y) \dd y +2x^2y^3z \dd z}\)
Sprawdź czy w zadanie nie było takie:
\(\displaystyle{ \int_{K}(2xy^3z^{\color{red}{2}}}\)\(\displaystyle{ -3x^2y^2) \dd x + (3x^2y^2z^2-2x^3y) \dd y +2x^2y^3z \dd z}\)
co od razu dałoby wynik:
\(\displaystyle{ \int_{K}(2xy^3z^2-3x^2y^2) \dd x + (3x^2y^2z^2-2x^3y) \dd y +2x^2y^3z \dd z=\int_{K}(x^2y^3z^2-x^3y^2+C)'=\\=x^2y^3z^2-x^3y^2 \bigg|_{t=0}^{ \frac{ \pi }{2} } =...}\)

Jeśli dobrze przepisałaś to niestety podstawiasz parametryzację (i odpowiednie różniczki) i walczysz z tasiemcami.
Właśnie też myślałam, że to błąd, ale sprawdzałam i wygląda na to, że tak ma być... no taki tasiemiec to trochę zajmie...

Dodano po 32 minutach 11 sekundach:
A jeszcze takie pytanie skąd wzięło się to \(\displaystyle{ \int_{K}(x^2y^3z^2-x^3y^2+C)'}\) i dlaczego na koniec z tego co widzę, już po scałkowaniu gdzie zaostały zmienne x, y i z podstawiam wartości z t?

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7658
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 232 razy
Pomógł: 3019 razy

Re: Całka skierowana

Post autor: kerajs » 1 lip 2020, o 08:37

Roshita pisze:
30 cze 2020, o 06:14
Właśnie też myślałam, że to błąd, ale sprawdzałam i wygląda na to, że tak ma być... no taki tasiemiec to trochę zajmie...
No to błąd w składzie książki, przy pisaniu zestawu itp, itd, etc. Wartości , wyłączywszy problematyczną potęgę) są zbyt dobrze dobrane.
Roshita pisze:
30 cze 2020, o 06:14
A jeszcze takie pytanie skąd wzięło się to \(\displaystyle{ \int_{K}(x^2y^3z^2-x^3y^2+C)'}\) i dlaczego na koniec z tego co widzę, już po scałkowaniu gdzie zaostały zmienne x, y i z podstawiam wartości z t?

Przepraszam, to takie skróty na które sobie pozwoliłem wobec zaawansowanego odbiorcy.
Niech \(\displaystyle{ f(x,y,z)=x^2y^3z^2-x^3y^2+C}\)
Wtedy: \(\displaystyle{ \dd f=(2xy^3z^2-3x^2y^2) \dd x+ (3x^2y^2z^2-2x^3y) \dd y+(2x^2y^3z) \dd z}\) (różniczka zupełna)
oraz:
\(\displaystyle{ \int_{K}^{} (2xy^3z^2-3x^2y^2) \dd x+ (3x^2y^2z^2-2x^3y) \dd y+(2x^2y^3z) \dd z= \int_{K}^{} \dd f=f\bigg |_K=x^2y^3z^2-x^3y^2+C\bigg |_K=\\=(\sin^{10} t(3\sin t +1)^ \frac{1}{2})^2(\cos^7t + 1)^3(\cos t - \sin t)^2-(\sin^{10} t(3\sin t +1)^ \frac{1}{2})^3(\cos^7t + 1)^2\bigg |_0^{\frac{\pi}{2}}=...}\)

ODPOWIEDZ