Rozwiązywanie równań różniczkowych (podstawienie)

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Iza8723
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 22 kwie 2020, o 19:01
Płeć: Kobieta
wiek: 18
Podziękował: 5 razy

Rozwiązywanie równań różniczkowych (podstawienie)

Post autor: Iza8723 » 28 cze 2020, o 15:44

Rozwiązać równanie różniczkowe :
\(\displaystyle{ x'=-x ^{2}+t ^{2} +1}\)
Próbowałam podstawić \(\displaystyle{ x=-t+ \frac{1}{u} }\), ale nic to nie dało, bo nie jest to typowe równanie Riccatiego.
Jak postępować w takich przypadkach jak wyżej wymieniony , jakie podstawienie stosować ?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

pkrwczn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 27 paź 2015, o 23:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gorzów Wlkp, Birmingham
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 12 razy

Re: Rozwiązywanie równań różniczkowych (podstawienie)

Post autor: pkrwczn » 29 cze 2020, o 23:21

\(\displaystyle{ y_1=-t}\) nie jest rozwiązaniem szczególnym. Ale \(\displaystyle{ y_1=t}\) jest więc spróbuj podstawić \(\displaystyle{ y=t+\frac{1}{u}}\) i wtedy prowadzi to do \(\displaystyle{ u'-1-2t u=0}\), które uzupełniamy czynnikiem całkującym \(\displaystyle{ e^{-t^{2}}}\).
I szukana funkcja to \(\displaystyle{ x=t+ \frac{e^{-t^{2}}}{ C+\int e^{-t^{2}} \dd t } }\) lub \(\displaystyle{ x=t}\).

ODPOWIEDZ