Równanie niejednorodne metodą Laplace'a

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
barczar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 27 maja 2020, o 07:29
Płeć: Kobieta
Podziękował: 5 razy

Równanie niejednorodne metodą Laplace'a

Post autor: barczar » 27 cze 2020, o 12:04

Bardzo proszę o rozwiązanie

\(\displaystyle{ y'-(2y)=te^{2t} }\)

Z góry dziękuję
Ostatnio zmieniony 27 cze 2020, o 18:30 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7658
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 232 razy
Pomógł: 3019 razy

Re: Równanie niejednorodne metodą Laplace'a

Post autor: kerajs » 29 cze 2020, o 14:39

barczar pisze:
27 cze 2020, o 12:04
\(\displaystyle{ y'-(2y)=te^{2t} }\)
\(\displaystyle{ sL(y)-y(0)-2L(y)= \frac{1}{(s-2)^2} }\)
Niestety brakuje warunku początkowego \(\displaystyle{ y(0)}\).
Niektórzy wtedy przyjmują (choć nie wiem dlaczego) że \(\displaystyle{ y(0)=0}\) , a wtedy:
\(\displaystyle{ sL(y)-2L(y)= \frac{1}{(s-2)^2} \\
L(y)= \frac{1}{(s-2)^3} \\
L(y)= \frac{1}{2} \cdot \frac{2!}{(s-2)^{2+1}} \\
y= \frac{1}{2}t^2e^{2t} }\)

pkrwczn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 27 paź 2015, o 23:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gorzów Wlkp, Birmingham
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 12 razy

Re: Równanie niejednorodne metodą Laplace'a

Post autor: pkrwczn » 29 cze 2020, o 16:59

Warunek początkowy można chyba włączyć w rozwiązanie.
\(\displaystyle{ y= \frac{1}{2}t^2 e^{2t} + \mathcal{L} \left\{\frac{f(0)}{s-2}\right\} = \frac{1}{2}t^2 e^{2t} + f(0) e^{2t}}\)

ODPOWIEDZ