Matematyka.pl

Udowodnić, że jeżeli zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład \(\displaystyle{ NB(r,p)}\), to
\(\displaystyle{ P(X \le k)=r {r+k \choose k} \int_{0}^{p} x^{r-1}(1-x)^{k}dx }\). Jak zabrać się za to zadanie?

Dużo rozpisywania i tyle, zapisać tę dystrybuantę jako sumę, przez coś podzielić i pomnożyć, przerobić silnie na funkcje Gamma, a odpowiednio dobrany iloraz tychże na funkcję Beta. Potem skorzystać z liniowości całki, skorzystać ze wzoru dwumianowego i zmienić granice całkowania. Mógłbym napisać rozwiązanie, ale pytałeś, jak się za to zabrać, zatem baw się dobrze.