Matematyka.pl

Rozwinąć funkcję \(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} -x^2&\text{dla } x\in[- \pi,0) \\ x^2 &\text{dla }x\in [0, \pi] \end{cases} }\) w szereg Fouriera.

Prosiłabym o jakąś wskazówkę jak się za to w ogóle zabrać. W wykładzie mam zaznaczone przy czymś podobnym "sposób nieparzysty" ale nie bardzo wiem jak to ruszyć...
\(\displaystyle{ a_n=0}\) a \(\displaystyle{ b_n}\) z \(\displaystyle{ x^2}\) normalnie?

Dla nieparzystych funkcji współczynniki \(\displaystyle{ a_n=0}\) co łatwo pokazać dziejąc przedział całkowania (tu i tak trzeba to robić bo funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest kawałkami opisana). Wygląda to tak:

\(\displaystyle{ a_n= \frac{1}{\pi} \int_{- \pi }^{ \pi } f(x)\cos (nx) \dd x = \frac{1}{\pi} \int_{- \pi }^{ 0} f(x)\cos (nx) \dd x+ \frac{1}{\pi} \int_{0}^{ \pi } f(x)\cos (nx) \dd x }\)

kładąc \(\displaystyle{ -x}\) zamiast \(\displaystyle{ x}\) w pierwszej całce pokazujemy, że \(\displaystyle{ a_0=0}\) można to też łatwo zapamiętać tym, że:

\(\displaystyle{ (1)}\) współczynniki \(\displaystyle{ a_n}\) stoją przy parzystym cosinusie więc funkcja nieparzysta nie powinna mieć w rozwinięciu parzystych kawałków.

\(\displaystyle{ (2)}\) Funkcja nieparzysta nie ma składowej stałej tj. \(\displaystyle{ a_0=0}\). Wszak dziwnie by to było gdyby funkcja nieparzysta nie przecinała punktu \(\displaystyle{ \left( 0,0\right) }\).

Więc rozwinięcie ma postać:

\(\displaystyle{ f(x)= \sum_{n=1}^{ \infty }b_n\cos \left( nx\right) }\)

gdzie:

\(\displaystyle{ b_n= \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin \left( nx\right) \dd x =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0}-x^2\sin \left( nx\right) \dd x +\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi}x^2\sin \left( nx\right) \dd x }\)

Do policzenia są praktycznie te same całki więc osobiście policzył bym ba boku:

\(\displaystyle{ \int_{}^{} x^2\sin(xn) \dd x }\)

dwa razy przez części tak aby robić z \(\displaystyle{ x^2}\) pochodną. A potem podstawiał granice całkowania.