Matematyka.pl

Dana jest rozmaitość \(\displaystyle{ M=\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R}^{3} \ : \ 1<z= \sqrt{x^{2}+y^{2}}<2 \right\} }\), zorientowana następująco: w każdym punkcie wektor normalny, wyznaczający stronę dodatnią, ma składową z- ową ujemną.
Obliczyć całkę po \(\displaystyle{ M}\) z formy \(\displaystyle{ \omega = xdy \wedge dz -\left( y+2z\right)dz \wedge dx + dx \wedge dy }\).
Jak się w ogóle zabrać za tego typu zadanie?
Jak zrozumieć opis tej orientacji?

TorrhenMathMeth pisze: 22 cze 2020, o 10:57Jak się w ogóle zabrać za tego typu zadanie?

Tak jak zwykle: z definicji.

Co zaś, gdy definicja jest niejasna i nie została poprawnie wytłumaczona?

Dodano po 15 minutach 7 sekundach:
Powiem inaczej, chciałbym właśnie zrozumieć definicję na podstawie tego przykładu i proszę o pomoc w tym.

A jaką definicję mieliście podaną?

Definicja [forma różniczkowa rzędu \(\displaystyle{ k}\) ] Niech \(\displaystyle{ U\subset \mathbb{R}^{n}}\) będzie zbiorem otwartym. Formą różniczkową rzędu \(\displaystyle{ k}\) i klasy \(\displaystyle{ C^{\infty}}\) na zbiorze \(\displaystyle{ U}\), nazywamy przekształcenie
\[ \omega\colon U\times \big(\mathbb{R}^{n}\big)^{k}\to \mathbb{R} \]
klasy \(\displaystyle{ C^{\infty}}\), takie, że dla każdego punktu \(\displaystyle{ x \in U}\) przekształcenie

\[ \begin{equation} \label{o x} \big(\mathbb{R}^{n}\big)^{k}\ni (x_{i_{1}},\ldots,x_{i_{k}})\longmapsto \omega(x;x_{i_{1}},\ldots,x_{i_{k}})\in \mathbb{R} \end{equation} \]
jest \(\displaystyle{ k}\)-formą antysymetryczną, tzn. elementem przestrzeni \(\displaystyle{ \Lambda^{k}\big(\mathbb{R}^{n}\big)^{k}}\) .

Jeszcze raz: do obliczenia jest całka z formy różniczkowej po rozmaitości. Skorzystaj więc z definicji całki z formy różniczkowej po rozmaitości, a jeśli jej nie rozumiesz - przytocz ją i opisz, co jest w niej niejasnego.