Płaszczyzna z porządkiem leksykograficznym

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Płaszczyzna z porządkiem leksykograficznym

Post autor: Jakub Gurak »

Czy płaszczyzna \(\displaystyle{ \RR\times \RR}\) z porządkiem leksykograficznym otrzymanym ze zwykłego \(\displaystyle{ \RR}\) z naturalnym porządkiem razy on sam, czy jest to zbiór liniowo uporządkowany ciągły??

To już dla mnie ciężki problem, ciężko wyczuć, a chciałbym wiedzieć.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Płaszczyzna z porządkiem leksykograficznym

Post autor: Jan Kraszewski »

A czy ograniczony zbiór \(\displaystyle{ \{0\}\times\RR}\) ma kres górny bądź dolny?

JK
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Płaszczyzna z porządkiem leksykograficznym

Post autor: Jakub Gurak »

Chyba nie, a więc nie jest ciągły, dobrze :?:
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Płaszczyzna z porządkiem leksykograficznym

Post autor: Jan Kraszewski »

"Chyba" to nie jest dobra odpowiedź - albo ma, albo nie. Jeżeli uważasz, że nie, to powinieneś umieć to uzasadnić, a nie pozostawać w sferze przypuszczeń.

JK
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Płaszczyzna z porządkiem leksykograficznym

Post autor: Jakub Gurak »

No nie ma, na tej prostej pionowej \(\displaystyle{ \left\{ 0\right\} \times \RR }\) nie znajdziemy supremum, a na większych prostych( na której są większe punkty, (pary, większe względem naszego porządku ) ), możemy znaleźć pośrednią prostą, a zatem mniejsze punkty (pary), czyli nie ma supremum. A więc porządek nie jest ciągły. Dobrze :?:
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Płaszczyzna z porządkiem leksykograficznym

Post autor: Jan Kraszewski »

To dość nieformalny argument, ale poprawny.

JK
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Płaszczyzna z porządkiem leksykograficznym

Post autor: Jakub Gurak »

Zastanawia mnie czy płaszczyznę \(\displaystyle{ \RR^2}\) można uporządkować w sposób ciągły?? :o :o

Mam pewien pomysł, ale nie wiem czy dobry, proszę o sprawdzenie.

Z płaszczyzny \(\displaystyle{ \RR^2}\) usuwany oś \(\displaystyle{ OY}\), i dla dowolnego ustalonego \(\displaystyle{ y \neq 0}\), do prostej pionowej przechodzącej przez \(\displaystyle{ y}\) na osi \(\displaystyle{ x}\), do takiej prostej dodajemy dwa elementy: parę \(\displaystyle{ (0,-y)}\) jako element najmniejszy, i parę \(\displaystyle{ (0,y)}\) jako element największy, i bierzemy sumę takich zbiorów (coś podobnego do działania porządku leksykograficznego, ale tu formalnie chyba nie mamy iloczynu kartezjańskiego dwóch zbiorów), i na koniec dodajemy do całego zbioru parę \(\displaystyle{ (0,0)}\) jako element najmniejszy (żeby ten porządek był określony dokładnie na zbiorze \(\displaystyle{ \RR^2}\)) , i podejrzewam, że to będzie uporządkowanie ciągłe zbioru \(\displaystyle{ \RR ^{2}}\), to dobry pomysł :?:
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Płaszczyzna z porządkiem leksykograficznym

Post autor: Jan Kraszewski »

Jakub Gurak pisze: 2 gru 2021, o 18:03 Zastanawia mnie czy płaszczyznę \(\displaystyle{ \RR^2}\) można uporządkować w sposób ciągły??
Można, podobnie jak dowolny zbiór mocy continuum - ustalasz bijekcję pomiędzy \(\displaystyle{ \RR}\) i tym zbiorem i przenosisz porządek z \(\displaystyle{ \RR}\).

JK
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Płaszczyzna z porządkiem leksykograficznym

Post autor: Jakub Gurak »

Dobrze, a jeszcze spytam- czy ta moja konstrukcja też zadziała :?:

(Bo to jest jakaś konkretna konstrukcja- bijekcja między \(\displaystyle{ \RR \times \RR}\) a \(\displaystyle{ \RR}\) jest chyba niekonstruktywna (tzn. nie ma na to prostego wzoru)). Zadziała to, ta moja konstrukcja :?:
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Płaszczyzna z porządkiem leksykograficznym

Post autor: Jan Kraszewski »

Już sam opis Twojej konstrukcji jest niedobry - nie mam pojęcia, jak Ty chcesz uporządkować płaszczyznę. Punkt \(\displaystyle{ (0,-1)}\) "przypisujesz" jako element najmniejszy do prostej \(\displaystyle{ x=1}\) i element największy do prostej \(\displaystyle{ x=-1}\) i równocześnie punkt \(\displaystyle{ (0,1)}\) "przypisujesz" jako element największy do prostej \(\displaystyle{ x=1}\) i element najmniejszy do prostej \(\displaystyle{ x=-1}\). To zdecydowanie nie wygląda na częściowy porządek...

Zacznij więc najpierw od porządnego zdefiniowania porządku, który masz na myśli...

JK
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Płaszczyzna z porządkiem leksykograficznym

Post autor: Jakub Gurak »

Tak, tego nie zauważyłem.

Inna próba( w ogóle chyba przesadziłem i utrudniłem sobie życie- chyba nie ma potrzeby do prostej pionowej dodawać dwa końce- chyba wystarczy jeden np. jako element największy, bo dla przekrojów Dedekinda można, element największy klasy dolnej, można zawsze przenieść do klasy górnej (dla porządków ciągłych), taka symetria sytuacji tu jest chyba ).

Oto druga próba: usuńmy z płaszczyzny \(\displaystyle{ \RR^2}\)\(\displaystyle{ OY}\), i dla dowolnego ustalonego \(\displaystyle{ y \in \RR \setminus \left\{ 0\right\}}\), do prostej pionowej przechodzącej przez \(\displaystyle{ y}\) na osi \(\displaystyle{ x}\), dodajemy jeden punkt- parę \(\displaystyle{ (0,y),}\) jako element największy. I bierzemy sumę takich zbiorów (na podobnej zasadzie do działania porządku leksykograficznego na iloczynie kartezjańskim dwóch zbiorów), i na koniec dodajemy parę \(\displaystyle{ (0,0)}\) jako element najmniejszy (żeby był to porządek na dokładnie zbiorze \(\displaystyle{ \RR^2}\)). Czy to jest uporządkowanie ciągłe zbioru \(\displaystyle{ \RR^2}\) :?: Tego nie wiem, obawiam się, że to może nie wystarczyć. Ktoś może wie :?:
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Płaszczyzna z porządkiem leksykograficznym

Post autor: Jan Kraszewski »

A co jest kresem dolnym zbioru \(\displaystyle{ \left\{ \left( x,-\frac{1}{x}\right):x>0 \right\} }\) ?

JK
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Płaszczyzna z porządkiem leksykograficznym

Post autor: Jakub Gurak »

Tak, taki ograniczony z dołu zbiór (np. przez parę \(\displaystyle{ (-1,0)}\) ), taki zbiór nie będzie miał infimum, i porządek nie będzie ciągły.


OSTATNIA CHYBA PRÓBA ( Oh, tracę już resztki nadziei, mam przeliczalną intuicję, która może tu zawodzić, i w ogóle nie widzę zbyt dobrze tego porządku, oh).

OSTATNIA PRÓBA:

Usuńmy z płaszczyzny \(\displaystyle{ \RR^2}\) pionowy odcinek domknięto-otwarty \(\displaystyle{ [0,1)}\), tzn. wyrzućmy zbiór \(\displaystyle{ \left\{ 0\right\} \times \left[ 0,1\right).}\) Rozważmy bijekcję \(\displaystyle{ f:\RR \rightarrow \left( 0,1\right)}\) z \(\displaystyle{ \RR}\) w odcinek otwarty \(\displaystyle{ \left( 0,1\right)}\) ( taką bijekcję można podać elementarnymi prostymi wzorami (no może nie tak całkiem prostymi, ale chyba da radę elementarnie , o ile nie będzie trudności z wyznaczeniem funkcji odwrotnej, ale chyba nie ), nie potrzeba tu trygonometrii, ani funkcji tangens, także chyba nie wkraczam na terytorium abstrakcyjnych bijekcji). Dla dowolnego ustalonego \(\displaystyle{ x\in\RR}\), do prostej pionowej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ x}\) dodajemy parę \(\displaystyle{ \left\langle 0, f(x)\right\rangle}\), gdzie przypominam \(\displaystyle{ f(x)\in \left( 0,1\right)}\), dodajemy taki punkt, jako element największy. I bierzemy sumę takich zbiorów, i na koniec dodajemy parę \(\displaystyle{ \left\langle 0,0\right\rangle }\) jako element najmniejszy, żeby wszystko się tu zgadzało. Czy będzie to uporządkowaniem ciągłym zbioru \(\displaystyle{ \RR^2}\) :?:


(Tego porządku leksykograficznego nie potrafię sobie zbyt dobrze wyobrazić. Trzeba będzie zająć się czymś prostszym, np. zbiorem liczb całkowitych z dodanymi dwoma elementami, jednym jako najmniejszym i drugim jako największym, to będzie ciekawsze :) ).

Ale czekam na odpowiedź: czy to będzie uporządkowaniem ciągłym zbioru \(\displaystyle{ \RR ^{2} }\) :?:
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Płaszczyzna z porządkiem leksykograficznym

Post autor: Jan Kraszewski »

A co jest kresem dolnym zbioru \(\displaystyle{ \{1\}\times\RR}\) ?

JK
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Płaszczyzna z porządkiem leksykograficznym

Post autor: Jakub Gurak »

Mamy twierdzenie Zermelo, że każdy zbiór da się dobrze uporządkować. Rodzą się analogiczne pytania: Czy każdy zbiór nieskończony da się uporządkować w sposób gęsty :o (bo zbiór liniowo uporządkowany, gęsty, co najmniej dwuelementowy musi być nieskończony) ; oraz czy każdy zbiór, mocy co najmniej continuum, da się uporządkować w sposób ciągły :o ( bo ponoć, zbiór liniowo uporządkowany ciągły, a więc i gęsty, taki zbiór ciągły, gdy jest nieskończony, to musi mieć moc co najmniej continuum- swoją drogą- jak to udowodnić? Kojarzę tylko takie zadanie).

To mogą być trudne problemy, tylko z ciekawości pytam, no bo porządki ciągłe i gęste, to w szczególności porządki liniowe, a przeczytałem kiedyś takie zdanie, że aby liniowo uporządkować zbiór mocy \(\displaystyle{ 2 ^{\RR} }\) potrzebny jest aksjomat wyboru, jeśli dobrze pamiętam. A każdy zbiór można łatwo uporządkować porządkiem identycznościowym.

Z ciekawości pytam, czy można takie zbiory nieskończone uporządkować w sposób gęsty, i odpowiednio w sposób ciągły, wie ktoś??
ODPOWIEDZ