Matematyka.pl

Mam problem z wykazaniem, że krzywa \(\displaystyle{ z\left( t\right)=4\left( 1+e ^{-2it} \right) ^{2}, t \in \left[ 0, \pi \right] }\) nie jest krzywą Jordana gładką. Wspomoże ktoś? Jutro egzamin

A gładkość jak definiujesz? Jeśli przez niezerowanie się jednoczesne pochodnych \(\displaystyle{ \frac{ \partial \mathfrak{Re} \left( z\right) }{ \partial t} }\) oraz \(\displaystyle{ \frac{ \partial \mathfrak{Im} \left( z\right) }{ \partial t}}\) to sprawa wygląda tak, że dla \(\displaystyle{ t= \frac{ \pi }{2} }\) pochodne zerują się jednocześnie czyli krzywa nie jest tam gładka. Innymi słowy policz \(\displaystyle{ \frac{ \partial z}{ \partial t} }\) w punkcie \(\displaystyle{ t= \frac{ \pi }{2} }\). Wybór \(\displaystyle{ t= \frac{ \pi }{2} }\) bierze się stąd, że badałem pochodne części rzeczywistej i urojonej i wyłonił się kandydat który może zepsuć gładkość.

I wszystko jasne. Dziękuje bardzo!