całka powierzchniowa zorientowana

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
rosa_125
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 15 paź 2007, o 14:38
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Łódź

całka powierzchniowa zorientowana

Post autor: rosa_125 » 15 paź 2007, o 14:54

Czy mógłby mi ktoś pomóc w rozwiązani całki: \(\displaystyle{ \iint_{S}xdydz+ydzdx+zdxdy}\) gdzie S jest zewnętrzną stroną półsfery \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2 = R^2}\), \(\displaystyle{ z\leqslant 0}\). Z góry dziękuje!
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

całka powierzchniowa zorientowana

Post autor: luka52 » 15 paź 2007, o 15:22

Tą całkę można zapisać jako:
\(\displaystyle{ \iint_S [x,y,z] \circ \mbox{d}\vec{S}}\)
Ponieważ wektor [x,y,z] jest na pow. sfery zawsze do niej prostopadły i ma wartość R, stąd łatwo wyliczyć, że wartość całki to po prostu:
\(\displaystyle{ R S = R 2 \pi R^2 = 2 \pi R^3}\)

PS. O ile czegoś nie namieszałem ze znakiem :S

ODPOWIEDZ