Matematyka.pl

Wiem, że \begin{align*}
\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a-k}^{b-k}f(x+k)dx.
\end{align*}
Widziałem gdzieś, że podstawienie \(\displaystyle{ x:=x-a }\) daje tożsamość
\begin{align*}
\int_{0}^{a}f(x)dx=\int_{0}^{a}f(x-a)dx.
\end{align*}

Ale dlaczego? Jakoś mi to umyka.

Bourder pisze: ↑14 cze 2020, o 23:03 Widziałem gdzieś, że podstawienie \(\displaystyle{ x:=x-a }\) daje tożsamość
\begin{align*}
\int_{0}^{a}f(x)dx=\int_{0}^{a}f(x-a)dx.
\end{align*}

To podstawienie nie daje takiej tożsamości, która swoją drogą jest nieprawdziwa widać to kładąc \(\displaystyle{ f=\chi_{[0,a]}}\).

Chodziło o tożsamość
\begin{align*}
\int_{0}^{a}f(x)dx=\int_{0}^{a}f(a-x)dx
\end{align*}
jakiekolwiek miało być zamierzone podstawienie - w każdym razie translacja.
Choć nadal średnio w to wierzę.

Ok, chyba mam: podstawiając \(\displaystyle{ x=a-x}\) dostajemy
\begin{align*}
\int_{0}^{a}f(x)dx=\int_{a}^{0}f(a-x)(-dx)=\int_{0}^{a}f(a-x)dx.
\end{align*}

w każdym razie translacja

No teraz to już nie translacja. Raczej symetria i translacja. Podstaw do całki \(\displaystyle{ \int_{0}^{a}f(x) \dd x }\) nową zmienną \(\displaystyle{ x=a-y}\) wtedy \(\displaystyle{ \dd x =- \dd y}\) zatem:

czyli teza.

Faktycznie, tam jest też symetria. Dzięki.