Matematyka.pl

Czy ktoś może mi pomóc z zadaniami z prawdopodobieństwa?

1) Rzucamy 8 razy dwiema monetami naraz. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie wynik "orzeł, orzeł" co najwyżej raz?
2) Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba wyników "orzeł, orzeł" w 8 rzutach dwiema monetami naraz?
3) Rzucamy dwiema monetami naraz tak długo, aż otrzymamy po raz 10 wynik "orzeł, orzeł". Jakie jest prawdopodobieństwo, że nastąpi to za 22 razem?

Próbowałem zrobić 1 i jeżeli dobrze rozumiem, to:
\(\displaystyle{ |\Omega | = 4^8 = 65536 }\)
\(\displaystyle{ |A| = 3^8+3^7\cdot 8 = 24057}\)
stąd \(\displaystyle{ p = \frac{24057}{65536} }\)
2.
\(\displaystyle{ |B|= {8 \choose k} \cdot 3^{(8-k)}}\) i więcej nie wiem co z tego wynika..

a 3 nie ogarniam póki co.
Pomoże ktoś/ nakieruje?

W pierwszym \(\displaystyle{ \Omega=\left\{ \mathcal{O},\mathcal{R}\right\}^2 \times \left\{ \mathcal{O},\mathcal{R}\right\}^2 \times ... \times \left\{ \mathcal{O},\mathcal{R}\right\}^2 }\) gdzie iloczynów jest \(\displaystyle{ 8}\) zatem faktycznie \(\displaystyle{ \left| \Omega\right| = 4^8 }\) natomiast zbiór \(\displaystyle{ A}\) można zapisać jako \(\displaystyle{ A= \left\{ \left\langle \mathcal{RR}\right\rangle,\left\langle \mathcal{RO}\right\rangle ,\left\langle \mathcal{OR}\right\rangle \right\}^8 \sqcup \left\{ \left\langle \mathcal{RR}\right\rangle,\left\langle \mathcal{RO}\right\rangle ,\left\langle \mathcal{OR}\right\rangle \right\}^7_{\text{gdzie dorzucimy jeszcze parę } \left\langle \mathcal{OO}\right\rangle } }\) czyli \(\displaystyle{ \left| A\right|=3^8+3^7 \cdot 8 }\) więc powinno się zgadzać chyba, że ja coś pomieszałem.

W drugim zastanowił bym się nad prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \mathscr{P}\left( \text{X}=k\right) }\) gdzie \(\displaystyle{ k\in \left\{ 0,1,2,...,8\right\} }\) jest liczbą par \(\displaystyle{ \left\langle \mathcal{OO}\right\rangle }\). Z poprzedniego zadania widać jak zliczać te przypadki, mianowicie niech \(\displaystyle{ A_k}\) oznacza teraz zbiór w którym para \(\displaystyle{ \left\langle \mathcal{OO}\right\rangle }\) wystąpiła dokładnie \(\displaystyle{ k}\) razy. Wtedy:

\(\displaystyle{ \mathscr{P}\left( \text{X}=k\right) = \frac{\left| A_k\right| }{\left| \Omega\right| } = \frac{\left|\left\{ \left\langle \mathcal{RR}\right\rangle,\left\langle \mathcal{RO}\right\rangle ,\left\langle \mathcal{OR}\right\rangle \right\}^{8-k}_{\text{gdzie dorzucimy jeszcze k par } \left\langle \mathcal{OO}\right\rangle } \right| }{4^8} }\)

Ale według mnie wzór \(\displaystyle{ \left| A_k\right| = {8 \choose k} \cdot 3^{(8-k)} }\) wymaga komentarza bo po wybraniu \(\displaystyle{ 8-k}\) elementów z \(\displaystyle{ \left\{ \left\langle \mathcal{RR}\right\rangle,\left\langle \mathcal{RO}\right\rangle ,\left\langle \mathcal{OR}\right\rangle \right\} }\) i ustawieniu ich w ciąg pojawia się \(\displaystyle{ 8-k+1}\) przerw a nie \(\displaystyle{ 8}\) przerw które należy wypełnić elementami \(\displaystyle{ \left\langle \mathcal{OO}\right\rangle}\) przy czym w jednej przerwie może stać więcej niż jeden element typu \(\displaystyle{ \left\langle \mathcal{OO}\right\rangle}\). Więc by to zliczyć zastanowił bym się nad liczbą rozwiązań w liczbach naturalnych z zerem równania:

\(\displaystyle{ x_1+x_2+...+x_{8-k+1}=k}\)

symbolizującego rozłożenie \(\displaystyle{ k}\) elementów typu \(\displaystyle{ \left\langle \mathcal{OO}\right\rangle}\) w \(\displaystyle{ 8-k+1}\) przerwach. Co daje:

\(\displaystyle{ \left| A_k\right|=3^{8-k} {k+8-k+1-1 \choose 8-k+1-1} = 3^{8-k} {8 \choose 8-k} = 3^{8-k} {8 \choose k} }\)

Zatem \(\displaystyle{ \mathscr{P}\left( \text{X}=k\right) = \frac{3^{8-k} {8 \choose k}}{4^8} }\) i pytanie z treści sprowadza się do wyznaczenia takiego \(\displaystyle{ k\in \left\{ 0,1,2,...,8\right\} }\) które maksymalizuje \(\displaystyle{ \mathscr{P}\left( \text{X}=k\right)}\). Wystarczy zatem podstawiać pod wzór rachować:

\(\displaystyle{ \mathscr{P}\left( \text{X}=0\right)=0.1001129 }\)

\(\displaystyle{ \mathscr{P}\left( \text{X}=1\right)=0.266968 }\)

\(\displaystyle{ \mathscr{P}\left( \text{X}=2\right)=\red{ 0.311462} }\)

\(\displaystyle{ \mathscr{P}\left( \text{X}=3\right)=0.207642 }\)

\(\displaystyle{ \mathscr{P}\left( \text{X}=4\right)=0.0865173 }\)

\(\displaystyle{ \mathscr{P}\left( \text{X}=5\right)= 0.00384521}\)

\(\displaystyle{ \mathscr{P}\left( \text{X}=6\right)=0.00384521 }\)

\(\displaystyle{ \mathscr{P}\left( \text{X}=7\right)=0.000366211 }\)

\(\displaystyle{ \mathscr{P}\left( \text{X}=8\right)=0.0000152588 }\)

3)
\(\displaystyle{ p= \frac{1}{4} \\
P(3)=\left( {21 \choose 9} p^9(1-p)^{21-9}\right) \cdot p}\)

Dziękuję za wyczerpujące odpowiedzi. Teraz wszystko rozumiem, pozdrawiam!

Wchodząc jeszcze ciekawiej w to zadanie, możemy powiedzieć, iż
X - zmienna losowa określająca liczbę sekwencji OO wśród 8 rzutów 2 monetami.
Widać, że zmienna \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład \(\displaystyle{ Bin(8, \frac{1}{4}) }\).
Stąd znając wartość oczekiwaną zmiennej o rozkładzie dwumianowym : \(\displaystyle{ EX = np = 2}\)