Transformacje Mobiusa

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 425
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 221 razy
Pomógł: 6 razy

Transformacje Mobiusa

Post autor: Mondo » 14 cze 2020, o 15:35

Witam,

próbuję uustalić w jaki sposób z:

\(\displaystyle{ M(z) = \frac{az+b}{cz+b}}\)
wyznaczono nastepujace transformacje:
\(\displaystyle{ z \mapsto z+\frac{d}{c}}\) (translacja)
\(\displaystyle{ z \mapsto \frac{1}{z}}\) (inwersja)
czy:
\(\displaystyle{ z \mapsto \frac{ad-bc}{c^2}}\) (rozciagniecie oraz obrót)

Szczegolnie ta ostatnia jest interesująca. Tak więc w jaki sposób z równania (1) wyznaczyć np. (4)?

Dziękuję
Ostatnio zmieniony 14 cze 2020, o 16:44 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26527
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4439 razy

Re: Transformacje Mobiusa

Post autor: Jan Kraszewski » 14 cze 2020, o 16:44

Mondo pisze:
14 cze 2020, o 15:35
\(\displaystyle{ z \mapsto \frac{ad-bc}{c^2}}\) (rozciagniecie oraz obrót)
Nie zgubiłeś czegoś?

JK

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9109
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1969 razy

Re: Transformacje Mobiusa

Post autor: Dasio11 » 14 cze 2020, o 18:03

Mondo pisze:
14 cze 2020, o 15:35
w jaki sposób z:

\(\displaystyle{ M(z) = \frac{az+b}{cz+b}}\)
wyznaczono nastepujace transformacje:
\(\displaystyle{ z \mapsto z+\frac{d}{c}}\) (translacja)
\(\displaystyle{ z \mapsto \frac{1}{z}}\) (inwersja)
czy:
\(\displaystyle{ z \mapsto \frac{ad-bc}{c^2}}\) (rozciagniecie oraz obrót)
Naprawdę łatwiej by Ci było pomagać, gdybyś formułował swoje pytania w sposób precyzyjny.

Co masz na myśli pisząc, że z jednej transformacji wyznaczono jakieś trzy inne? W matematyce wyznaczanie jednego obiektu z innego ma sens tylko w takim kontekście, gdy ten pierwszy obiekt jednoznacznie zależy od drugiego w jawnie określony sposób. Na przykład: wyznaczanie pierwiastków równania \(\displaystyle{ 4x^2+4x+1 = 0}\) oznacza wypisanie wszystkich liczb \(\displaystyle{ x}\), które spełniają to równanie. Nie ma sensu "wyznaczanie liczb z równania", jeśli nie doprecyzuje się, że te liczby mają być jego pierwiastkami.

Inny przykład niejasnego pytania: jak wyznaczono zbiór \(\displaystyle{ (1, \infty)}\) z funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-1}}}\)? Poprawnie zadanie pytanie: w jaki sposób dla funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-1}}}\) wyznaczono dziedzinę naturalną \(\displaystyle{ (1, \infty)}\)?


A więc: w jaki sposób te trzy transformacje mają zależeć od \(\displaystyle{ M(z)}\) ?

Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 425
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 221 razy
Pomógł: 6 razy

Re: Transformacje Mobiusa

Post autor: Mondo » 14 cze 2020, o 19:20

Jan Kraszewski pisze:
14 cze 2020, o 16:44
Mondo pisze:
14 cze 2020, o 15:35
\(\displaystyle{ z \mapsto \frac{ad-bc}{c^2}}\) (rozciagniecie oraz obrót)
Nie zgubiłeś czegoś?

JK
Tak, powinno być \(\displaystyle{ z \mapsto - \frac{(ad-bc)z}{c^2}}\). Nie mogę już poprawić pierwszego posta także będę wdzięczy za wykonanie poprawki w moim imieniu, przepraszam.
Dasio11 pisze:
14 cze 2020, o 18:03
Naprawdę łatwiej by Ci było pomagać, gdybyś formułował swoje pytania w sposób precyzyjny.
Dasio11 pisze:
14 cze 2020, o 18:03
Co masz na myśli pisząc, że z jednej transformacji wyznaczono jakieś trzy inne?
Staram się precyzyjnie zadawać pytania natomiast tutaj brakuje mi jakiegoś punktu zaczepienia. Generalnie powołuję się tutaj na ten cytat:
https://i.paste.pics/fafd572027336015eb ... b692a3.png
cytuję:
let us decompose \(\displaystyle{ M(z) }\) into the following sequence of transformation ....
Więc tłumacząc odebrałem to tak, że \(\displaystyle{ M(z)}\) zostało w jakiś sposób tak przekształcone, że można z niego otrzymać te 4 wspomniane transformacje.
Dasio11 pisze:
14 cze 2020, o 18:03
Inny przykład niejasnego pytania: jak wyznaczono zbiór \(\displaystyle{ (1, \infty)}\) z funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-1}}}\)? Poprawnie zadanie pytanie: w jaki sposób dla funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-1}}}\) wyznaczono dziedzinę naturalną \(\displaystyle{ (1, \infty)}\)?
No tak, ale to chyba nie jest cytat ze mnie? :P
Dasio11 pisze:
14 cze 2020, o 18:03
A więc: w jaki sposób te trzy transformacje mają zależeć od \(\displaystyle{ M(z)}\) ?
@Dasio11, no właśnie to jest moje pytanie. Z tekstu który zacytowałem wynika, że właśnie te transformacje zostały wyznaczone z \(\displaystyle{ M(z)}\) :roll:
Ostatnio zmieniony 14 cze 2020, o 19:43 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26527
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4439 razy

Re: Transformacje Mobiusa

Post autor: Jan Kraszewski » 14 cze 2020, o 19:50

Mondo pisze:
14 cze 2020, o 19:21
Więc tłumacząc odebrałem to tak, że \(\displaystyle{ M(z)}\) zostało w jakiś sposób tak przekształcone, że można z niego otrzymać te 4 wspomniane transformacje.
No to źle przetłumaczyłeś. Chodzi o to, że złożenie tych czterech przekształceń daje przekształcenie Moebiusa, co możesz sobie sam przerachować.

JK

Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 425
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 221 razy
Pomógł: 6 razy

Re: Transformacje Mobiusa

Post autor: Mondo » 15 cze 2020, o 18:14

Ok dziękuję za wyjaśnienie. Myślę, że dobrze przetłumaczyłem a komentarz w książce był troche "lakoniczny".

Mam jednak takie pytanie co do inversji \(\displaystyle{ \frac{1}{z}}\) oraz rysunku https://i.paste.pics/b8803c8044cd371dc4 ... f78b45.png

Napisano takie równanie: (\(\displaystyle{ [\widetilde{a}\widetilde{b}]}\)) oznacza gługość pomiedzy punktami \(\displaystyle{ \widetilde{a}}\) oraz \(\displaystyle{ \widetilde{b}}\)
\(\displaystyle{ \frac{[\widetilde{a}\widetilde{b}]}{[ab]} = \frac{[q \widetilde{b}]}{[qa]} }\)

Zupełnie nie wdzię tego stosunku, z czego on wynika?

Dla mnie \(\displaystyle{ \frac{[\widetilde{a}\widetilde{b}]}{[ab]}}\) odpowiada stosunkowi \(\displaystyle{ \frac{[qb]}{[q\widetilde{b}]}}\)

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9109
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1969 razy

Re: Transformacje Mobiusa

Post autor: Dasio11 » 15 cze 2020, o 19:36

Mondo pisze:
15 cze 2020, o 18:14
Myślę, że dobrze przetłumaczyłem a komentarz w książce był troche "lakoniczny".
Z Twojego posta nie wynika, w jakiej relacji jest \(\displaystyle{ M(z)}\) do pozostałych transformacji. W książce zaś jest jawnie napisane, że te transformacje stanowią rozkład \(\displaystyle{ M(z)}\), czyli jest w niej dokładnie to, czego w Twoim poście brakuje.

Odnośnie pytania: z równości trzech kątów wynika, że trójkąty \(\displaystyle{ \triangle q \widetilde{a} \widetilde{b}}\) i \(\displaystyle{ \triangle q b a}\) są podobne, a to bezpośrednio implikuje, że stosunek długości odpowiadających boków jest taki sam.

Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 425
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 221 razy
Pomógł: 6 razy

Re: Transformacje Mobiusa

Post autor: Mondo » 16 cze 2020, o 01:16

Dasio11 pisze:
15 cze 2020, o 19:36
Mondo pisze:
15 cze 2020, o 18:14
Myślę, że dobrze przetłumaczyłem a komentarz w książce był troche "lakoniczny".
Z Twojego posta nie wynika, w jakiej relacji jest \(\displaystyle{ M(z)}\) do pozostałych transformacji. W książce zaś jest jawnie napisane, że te transformacje stanowią rozkład \(\displaystyle{ M(z)}\), czyli jest w niej dokładnie to, czego w Twoim poście brakuje.
No ale jak to, napisałem wzór na \(\displaystyle{ M(z)}\) oraz kilka transformacji które z niego otrzymano i chciałem wiedzieć w jaki sposób. @Jan Kraszewski podpowiada, że:
Chodzi o to, że złożenie tych czterech przekształceń daje przekształcenie Moebiusa, co możesz sobie sam przerachować.
Ale nie widze tego mówiąc szczerze. W jaki sposób miałbym je złożyć w równanie na \(\displaystyle{ M(z)}\)?
Dasio11 pisze:
15 cze 2020, o 19:36
Odnośnie pytania: z równości trzech kątów wynika, że trójkąty \(\displaystyle{ \triangle q \widetilde{a} \widetilde{b}}\) i \(\displaystyle{ \triangle q b a}\) są podobne, a to bezpośrednio implikuje, że stosunek długości odpowiadających boków jest taki sam.
Tak to podobieństwo również widze podobnie jak stosunki odpowiednich boków. Zauważ jednak, że w równaniu które przytoczyłem, po jego prawej stronie mamy stosunek dwóch róznych boków! Czyżby literówka w tekscie?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26527
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4439 razy

Re: Transformacje Mobiusa

Post autor: Jan Kraszewski » 16 cze 2020, o 01:40

Mondo pisze:
16 cze 2020, o 01:16
No ale jak to, napisałem wzór na \(\displaystyle{ M(z)}\) oraz kilka transformacji które z niego otrzymano i chciałem wiedzieć w jaki sposób.
W książce, którą pokazałeś, było napisane coś zupełnie innego - to nie te przekształcenia otrzymano z transformacji Moebiusa, tylko transformację Moebiusa otrzymany z tych przekształceń. Pomyliłeś kierunek wnioskowania...
Mondo pisze:
16 cze 2020, o 01:16
@Jan Kraszewski podpowiada, że:
Chodzi o to, że złożenie tych czterech przekształceń daje przekształcenie Moebiusa, co możesz sobie sam przerachować.
Ale nie widze tego mówiąc szczerze. W jaki sposób miałbym je złożyć w równanie na \(\displaystyle{ M(z)}\)?
Proszę:

Niech
\(\displaystyle{ f(z) = z+\frac{d}{c}\\
g(z)=\frac{1}{z}\\
h(z)=-\frac{ad-bc}{c^2}z\\
k(z)=z+\frac{a}{c}}\)


Wtedy transformację Moebiusa \(\displaystyle{ M(z) = \frac{az+b}{cz+b}}\) można zapisać jako

\(\displaystyle{ M=k\circ h\circ g \circ f}\),

czyli \(\displaystyle{ M(z) = k(h(g(f(z)))).}\) A to już możesz sobie sam sprawdzić rachując.

JK

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9109
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1969 razy

Re: Transformacje Mobiusa

Post autor: Dasio11 » 16 cze 2020, o 09:38

Mondo pisze:
16 cze 2020, o 01:16
Zauważ jednak, że w równaniu które przytoczyłem, po jego prawej stronie mamy stosunek dwóch róznych boków!
Literalnie rzecz biorąc zarzut jest dziwny, bo w trójkątach porównuje się ilorazy długości boków odpowiadających, a nie tylko równych - zresztą w drugim przypadku scenariusz byłby raczej nieciekawy, bo wynikiem dzielenia dwóch identycznych liczb jest zawsze jeden.

Zakładam więc, że miałeś na myśli, że po prawej stronie boki nie są odpowiadające. I odpowiadam: sprawdź jeszcze raz.

Podobieństwo z uwzględnieniem kolejności wierzchołków: \(\displaystyle{ \triangle q \widetilde{a} \widetilde{b} \sim \triangle q b a}\), czyli \(\displaystyle{ q \sim q, \widetilde{a} \sim b, \widetilde{b} \sim a}\).

Problematyczna równość: \(\displaystyle{ \frac{[\widetilde{a}\widetilde{b}]}{[ba]} = \frac{[q \widetilde{b}]}{[qa]} }\) (dla ułatwienia zmieniłem \(\displaystyle{ [ab]}\) na \(\displaystyle{ [ba]}\), co oczywiście nie wpływa na wynik).

Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 425
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 221 razy
Pomógł: 6 razy

Re: Transformacje Mobiusa

Post autor: Mondo » 17 cze 2020, o 21:24

Jan Kraszewski pisze:
16 cze 2020, o 01:40
Mondo pisze:
16 cze 2020, o 01:16
No ale jak to, napisałem wzór na \(\displaystyle{ M(z)}\) oraz kilka transformacji które z niego otrzymano i chciałem wiedzieć w jaki sposób.
W książce, którą pokazałeś, było napisane coś zupełnie innego - to nie te przekształcenia otrzymano z transformacji Moebiusa, tylko transformację Moebiusa otrzymany z tych przekształceń. Pomyliłeś kierunek wnioskowania...
Dziękuję ale będę sie upierał, że się nie pomyliłem w tym wnioskowaniu / tłumaczeniu :)
As a first step towards making sense of (1), let us decompose \(\displaystyle{ M(z)}\) [exercise] into the following sequence of operations
co ja tłumaczę tak
Jako pierwszy ktok do zrozumienia równania (1) przekształcamy\(\displaystyle{ M(z)}\) [ćwiczenie] na następujące równania
Tak więc odebrałem te to tak, że te cztery równania można otrzymać poprzez przekształcenie \(\displaystyle{ M(z)}\)..no bo jak inaczej? Co więcej użycie słowa "exercise/ćwiczenie" sugeruje, że mamy sobie to "przećwiczyć".
Nie wiem, może to nie jest aż tak istotne ale ciekawa sprawa, że odbieracie to inaczej...wydaje mi się, że fakt iż znacie już temat nie jest tutaj bez znaczenia.
Jan Kraszewski pisze:
16 cze 2020, o 01:40
Mondo pisze:
16 cze 2020, o 01:16
@Jan Kraszewski podpowiada, że:
Chodzi o to, że złożenie tych czterech przekształceń daje przekształcenie Moebiusa, co możesz sobie sam przerachować.
Ale nie widze tego mówiąc szczerze. W jaki sposób miałbym je złożyć w równanie na \(\displaystyle{ M(z)}\)?
Proszę:

Niech
\(\displaystyle{ f(z) = z+\frac{d}{c}\\
g(z)=\frac{1}{z}\\
h(z)=-\frac{ad-bc}{c^2}z\\
k(z)=z+\frac{a}{c}}\)


Wtedy transformację Moebiusa \(\displaystyle{ M(z) = \frac{az+b}{cz+b}}\) można zapisać jako

\(\displaystyle{ M=k\circ h\circ g \circ f}\),

czyli \(\displaystyle{ M(z) = k(h(g(f(z)))).}\) A to już możesz sobie sam sprawdzić rachując.

JK
Sprawdziłem to ale nie jest tak łatwo niestety. Doszedłem do postaci:
\(\displaystyle{ M(z) = \frac{d(ad-bc)}{c^2\cdot cd} + \frac{cd(ad-bc)}{c^2\cdot cd} + \frac{dcz(a)}{c^2\cdot cd}}\)
Nie bardzo wiem jak to dalej przekształcić, jakaś podpowiedź? :)
Dasio11 pisze:
16 cze 2020, o 09:38

Podobieństwo z uwzględnieniem kolejności wierzchołków: \(\displaystyle{ \triangle q \widetilde{a} \widetilde{b} \sim \triangle q b a}\), czyli \(\displaystyle{ q \sim q, \widetilde{a} \sim b, \widetilde{b} \sim a}\).

Problematyczna równość: \(\displaystyle{ \frac{[\widetilde{a}\widetilde{b}]}{[ba]} = \frac{[q \widetilde{b}]}{[qa]} }\) (dla ułatwienia zmieniłem \(\displaystyle{ [ab]}\) na \(\displaystyle{ [ba]}\), co oczywiście nie wpływa na wynik).
Dzięki @Dasio11. Już wiem co jest problemem, nie ta nierówności ale to, że te trójkąty które rozpisałeś są podobne. Co ciekawe w książce jest to rozpisane nieco inaczej - tam trójkatmi podobnymi są:
\(\displaystyle{ \triangle aqb \sim \triangle \widetilde{b}q\widetilde{a}}\)
Generalnie trójkątami podobnymi sa te które mają te same kąty oraz stosunki odpowiednich boków są takie same. Czy możemy to powiedzieć o trójkątach z powyżej relacji? Nie sądzę bo patrząc na ten rysunek widzę, że kąty są różne, a nawet biorąc pod uwagę, że rysunek jest tylko poglądowy to jak można by udowodnić, ze te kąty są faktycznie takie same?
@Dasio11 wracając do podobieństwa, które ty rozpisałeś poprzez:
\(\displaystyle{ \triangle q \widetilde{a} \widetilde{b} \sim \triangle q b a}\)
Gdybyśmy byli w stanie udowodnić, że te trójkąty są faktycznie podobne to wtedy ta "problematyczna nierówność" przestaje nią być i wszystko staje się jasne. Tak więc pytania są dwa. Dlaczego w książce jako trójkąty podobne wyznaczono te o wspólbnym wierzchołku w punkcie 'q' (inne niż w Twojej relacji) oraz jak udowodnić to podobieństwo?

Załączam teks oryginalny https://i.paste.pics/9aee78331a5c83b73a ... 3959fb.png

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26527
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4439 razy

Re: Transformacje Mobiusa

Post autor: Jan Kraszewski » 17 cze 2020, o 21:59

Mondo pisze:
17 cze 2020, o 21:24
Dziękuję ale będę sie upierał, że się nie pomyliłem w tym wnioskowaniu / tłumaczeniu :)
As a first step towards making sense of (1), let us decompose \(\displaystyle{ M(z)}\) [exercise] into the following sequence of operations
co ja tłumaczę tak
Jako pierwszy ktok do zrozumienia równania (1) przekształcamy \(\displaystyle{ M(z)}\) [ćwiczenie] na następujące równania
No to źle tłumaczysz.

Nie "przekształcamy \(\displaystyle{ M(z)}\) na następujące równania" tylko "rozkładamy \(\displaystyle{ M(z)}\) na ciąg następujących przekształceń".
Mondo pisze:
17 cze 2020, o 21:24
Tak więc odebrałem te to tak, że te cztery równania można otrzymać poprzez przekształcenie \(\displaystyle{ M(z)}\)..no bo jak inaczej? Co więcej użycie słowa "exercise/ćwiczenie" sugeruje, że mamy sobie to "przećwiczyć".
Nie wiem, może to nie jest aż tak istotne ale ciekawa sprawa, że odbieracie to inaczej...wydaje mi się, że fakt iż znacie już temat nie jest tutaj bez znaczenia.
Zapewniam Cię, że z matematycznego punktu widzenia to tłumaczenie jest oczywiste: rozkładasz \(\displaystyle{ M(z)}\) na złożenie podanych czterech przekształceń, co jest pozostawione dla Ciebie jako proste ćwiczenie.
Mondo pisze:
17 cze 2020, o 21:24
Sprawdziłem to ale nie jest tak łatwo niestety. Doszedłem do postaci:
\(\displaystyle{ M(z) = \frac{d(ad-bc)}{c^2\cdot cd} + \frac{cd(ad-bc)}{c^2\cdot cd} + \frac{dcz(a)}{c^2\cdot cd}}\)
Nie bardzo wiem jak to dalej przekształcić, jakaś podpowiedź? :)
Nie wiem, jak Ty to przekształcasz, ale to są naprawdę proste przekształcenia algebraiczne na poziomie gimnazjum:

\(\displaystyle{ f(z) = z+\frac{d}{c}\\
g(f(z))=\frac{1}{f(z)}=\frac{1}{z+\frac{d}{c}}=\frac{c}{cz+d}\\
h(g(f(z)))=-\frac{ad-bc}{c^2}g(f(z))=-\frac{ad-bc}{c^2}\cdot \frac{c}{cz+d}=-\frac{ad-bc}{c\cdot(cz+d)}\\
k(h(g(f(z))))=h(g(f(z)))+\frac{a}{c}=-\frac{ad-bc}{c\cdot(cz+d)}+\frac{a}{c}=\frac{bc-ad+a\cdot(cz+d)}{c\cdot(cz+d)}=\frac{bc-ad+acz+ad)}{c\cdot(cz+d)}=\frac{bc+acz}{c\cdot(cz+d)}=\frac{b+az}{cz+d}}\)


JK

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18302
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3086 razy

Re: Transformacje Mobiusa

Post autor: a4karo » 17 cze 2020, o 21:59

Mondo pisze:
17 cze 2020, o 21:24
Jan Kraszewski pisze:
16 cze 2020, o 01:40
Mondo pisze:
16 cze 2020, o 01:16
No ale jak to, napisałem wzór na \(\displaystyle{ M(z)}\) oraz kilka transformacji które z niego otrzymano i chciałem wiedzieć w jaki sposób.
W książce, którą pokazałeś, było napisane coś zupełnie innego - to nie te przekształcenia otrzymano z transformacji Moebiusa, tylko transformację Moebiusa otrzymany z tych przekształceń. Pomyliłeś kierunek wnioskowania...
Dziękuję ale będę sie upierał, że się nie pomyliłem w tym wnioskowaniu / tłumaczeniu :)
Nie upieraj się
As a first step towards making sense of (1), let us decompose \(\displaystyle{ M(z)}\) [exercise] into the following sequence of operations
co ja tłumaczę tak
Jako pierwszy ktok do zrozumienia równania (1) przekształcamy\(\displaystyle{ M(z)}\) [ćwiczenie] na następujące równania
Tak więc odebrałem te to tak, że te cztery równania można otrzymać poprzez przekształcenie \(\displaystyle{ M(z)}\)..no bo jak inaczej? Co więcej użycie słowa "exercise/ćwiczenie" sugeruje, że mamy sobie to "przećwiczyć".
Nie wiem, może to nie jest aż tak istotne ale ciekawa sprawa, że odbieracie to inaczej...wydaje mi się, że fakt iż znacie już temat nie jest tutaj bez znaczenia.
Tam jest napisane, że rozkładamy `M` na ciąg przekształceń (działań, operacji) a nie równań. Żeby to zrozumieć, trzeba wiedzieć na czym polega składanie przekształceń
Jan Kraszewski pisze:
16 cze 2020, o 01:40
Mondo pisze:
16 cze 2020, o 01:16
@Jan Kraszewski podpowiada, że:

Ale nie widze tego mówiąc szczerze. W jaki sposób miałbym je złożyć w równanie na \(\displaystyle{ M(z)}\)?
Proszę:

Niech
\(\displaystyle{ f(z) = z+\frac{d}{c}\\
g(z)=\frac{1}{z}\\
h(z)=-\frac{ad-bc}{c^2}z\\
k(z)=z+\frac{a}{c}}\)


Wtedy transformację Moebiusa \(\displaystyle{ M(z) = \frac{az+b}{cz+b}}\) można zapisać jako

\(\displaystyle{ M=k\circ h\circ g \circ f}\),

czyli \(\displaystyle{ M(z) = k(h(g(f(z)))).}\) A to już możesz sobie sam sprawdzić rachując.

JK
Sprawdziłem to ale nie jest tak łatwo niestety. Doszedłem do postaci:
\(\displaystyle{ M(z) = \frac{d(ad-bc)}{c^2\cdot cd} + \frac{cd(ad-bc)}{c^2\cdot cd} + \frac{dcz(a)}{c^2\cdot cd}}\)
Nie bardzo wiem jak to dalej przekształcić, jakaś podpowiedź? :)
Tutaj dobrze widać, że nie wiesz jak sie składa przekształcenia. Spróbuj może najpierw powiedzieć czym jest \(g\circ f(z)\) .


Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 425
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 221 razy
Pomógł: 6 razy

Re: Transformacje Mobiusa

Post autor: Mondo » 17 cze 2020, o 22:55

@Jan Kraszewski, ahh tak zrobiłem głupi błąd przy pierwszym przekształceniu \(\displaystyle{ g(f(z))}\) teraz wszystko ładnie wychodzi. Bardzo dziękuję!

Ostatnia rzecz jaka została do wyjaśnienia to kwestia tych trójkątów podobnnych. @Dasio11 jesteś w stanie pomóc tutaj?

ODPOWIEDZ