Matematyka.pl

Dzień dobry, mam pewien problem z zadaniem:
\(\displaystyle{ (2y \sin(x) \cos(x)) \, \dd x + (2y+\sin^2(x)) \, \dd y=0}\)
sprawdziłem że nie jest to równanie różniczkowe zupełne, aczkolwiek nie mam pojęcia co dalej, jak je poprawnie przekształcić i jak wyznaczyć ten czynnik całkowy, niestety pomimo znania wzorów do wyznaczenia tego czynnika, nie wiem jak je wykorzystać . Z góry dziękuję za wszelką pomoc

To równanie jest zupełne, więc wystarczy scałkować.

Właśnie zauważyłem, po ponownym przeliczeniu wyznaczyłem potem C i własnie nie wiem co dalej

\(\displaystyle{ \int \left[ 2y \sin(x)\cos(x)\right] \dd x =0 \ \ \ }\) i \(\displaystyle{ \ \ \ \int \left[ 2y + \sin^2(x)\right] \dd y}\)=0
\(\displaystyle{ - \frac{1}{2}y + y\sin^2(x) + f(y) = 0 \ \ \ }\) i \(\displaystyle{ \ \ \ y^2+y\sin^2(x) + g(x) = 0}\)

Zmienne są funkcjami. Wyznacz \(\displaystyle{ f(x) }\) i \(\displaystyle{ g(x)}\) tak, aby lewe i prawe wyrażenie były takie same.

\(\displaystyle{ g\left( x\right)=0\\f\left( y\right)=y^2+ \frac{1}{2}y }\)

Można też inaczej

\(\displaystyle{ (2y \sin(x) \cos(x)) \, \dd x + (2y+\sin^2(x)) \, \dd y=0\\
(2y \sin(x) \cos(x)) \frac{\dd x}{\dd y} + 2y+\sin^2(x) = 0\\
u\left( y\right)= \sin(x)\\
u'\left( y\right)=\cos(x)\frac{\dd x}{\dd y}\\
2yuu'+2y+u^2=0\\
u'+ \frac{1}{2y} \cdot u=- \frac{1}{u} \\
}\)

a to jest równanie Bernoulliego