Strona 1 z 1
Ciąg liczb pierwszych
: 12 cze 2020, o 13:18
autor: slabymatematyk99
Ile liczb pierwszych znajduje się w każdym z ciagów:
a) \(\displaystyle{ 23, 253, 2553, 25553, 255553 .. }\)
b) \(\displaystyle{ 41, 451, 4551, 45551, 45551... }\)
c) \(\displaystyle{ 17, 187, 1887, 18887, 188887, ... }\)
Z czego skorzystać rozwiązując to zadania? Jak to zrobić? na co się powołac?
Re: Ciąg liczb pierwszych
: 12 cze 2020, o 13:27
autor: Premislav
Można odgadnąć zależności rekurencyjne, które wiążą te wyrazy, na przykład w a) jest to
\(\displaystyle{ a_{1}=23, \ a_{n+1}=10a_{n}+23}\)
Stąd łatwo dowodzimy indukcyjnie, że każda liczba w tym ciągu jest podzielna przez \(\displaystyle{ 23}\), a więc tylko pierwszy wyraz, równy \(\displaystyle{ 23}\), jest liczbą pierwszą.
Ogólnie tutaj w każdym z przykładów mamy ciąg o rekurencji \(\displaystyle{ a_{1}=\text{ jakaś tam liczba pierwsza }, \ a_{n+1}=10a_{n}+a_{1}}\) i to się rozwiązuje tak samo.
Re: Ciąg liczb pierwszych
: 12 cze 2020, o 13:33
autor: slabymatematyk99
Premislav pisze: ↑12 cze 2020, o 13:27
Można odgadnąć zależności rekurencyjne, które wiążą te wyrazy, na przykład w a) jest to
\(\displaystyle{ a_{1}=23, \ a_{n+1}=10a_{n}+23}\)
Stąd łatwo dowodzimy indukcyjnie, że każda liczba w tym ciągu jest podzielna przez
\(\displaystyle{ 23}\), a więc tylko pierwszy wyraz, równy
\(\displaystyle{ 23}\), jest liczbą pierwszą.
Ogólnie tutaj w każdym z przykładów mamy ciąg o rekurencji
\(\displaystyle{ a_{1}=\text{ jakaś tam liczba pierwsza }, \ a_{n+1}=10a_{n}+a_{1}}\) i to się rozwiązuje tak samo.
Tylko niestety musi to być poziom podstwówka, liceum i dobre uzasadnienie
Re: Ciąg liczb pierwszych
: 12 cze 2020, o 13:42
autor: Janusz Tracz
Ja zauważyłem podobnie jak Przemek, tylko inny sposób doprowadził mnie do tych obserwacji wszak widać, że:
\(\displaystyle{ a_n=2 \cdot 10^n+ 5 \cdot \frac{10^n-1}{9}-2= 23 \cdot \frac{10^n-1}{9} }\)
jako, że \(\displaystyle{ 9|10^n-1}\) to \(\displaystyle{ 23|a_n}\).
albo jeszcze inaczej... po prostu zauważamy, że:
\(\displaystyle{ a_n=2\underbrace{555 \ldots 5} _{n-1 \text{ razy}}3=23 \cdot \underbrace{111 \ldots 1} _{n\text{ razy}}}\)
a zauważenie to polega na stosowaniu mnożenia w słupku.