Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ \phi : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} }\) będzie taką funkcją klasy \(\displaystyle{ C^{1}}\), że \(\displaystyle{ \phi \left( 0\right)=0 }\) i \(\displaystyle{ \phi \left( 1\right)=1 }\). Rozważamy jednowymiarową rozmaitość z brzegiem
\(\displaystyle{ M = \left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2} : \ 0 \le x \le 1, \ y=\phi\left( x\right) \right\} }\). Definiujemy na niej 1-formę różniczkową \(\displaystyle{ w\left( x,y\right)=ydx+xdy }\). Wyznaczyć wartość całki \(\displaystyle{ \int_{M}^{} w}\) i ustalić dla której funkcji \(\displaystyle{ \phi}\) spełniającej warunki zadania całka ta przyjmuje największą wartość.

Oto co udało mi się ustalić:
\(\displaystyle{ M}\) to oczywiście wykres \(\displaystyle{ \phi}\), zatem jej parametryzacja to \(\displaystyle{ \gamma \left( t\right) =\left( t, \phi \left( t\right) \right) }\). Czyli całkę z zadania liczymy w następujący sposób: jeśli \(\displaystyle{ f_{1}\left( x,y\right)=y, \ f_{2}\left( x,y\right)=x }\), to \(\displaystyle{ \int_{M}^{} w = \int_{0}^{1} f_{1}\left( \lambda\left( t\right) \right) \cdot \lambda_{1}\left( t\right) dt + \int_{0}^{1} f_{2}\left( \lambda\left( t\right) \right) \cdot \lambda_{2}\left( t\right)dt }\)
\(\displaystyle{ = \int_{0}^{1} \phi \left( t\right)dt + \int_{0}^{1} \phi \left( t\right) \cdot \phi ' \left( t\right) dt}\)

Nie do końca wychodzi mi poradzenie sobie z tym dalej. Nie bardzo wyszło mi uproszczenie jakość tego wyrażenia. Doszedłem do czegoś w tym stylu: \(\displaystyle{ 1+ \int_{0}^{1} \phi ' \left( t\right) \cdot \left( 1- \phi \left( t\right) \right) dt }\), ale umówmy się, nie wygląda to dużo lepiej. Nie wiem też jak odpowiedzieć na pytanie dla jakiej funkcji ta całka będzie największa.

Jeśli możesz użyć twierdzenia Stokesa, to tak jest najprościej.

Niewiele trudniej jest policzyć z definicji, ale nie rozumiem Twojego sposobu liczenia, a w szczególności - niezdefiniowanych \(\displaystyle{ \lambda, \lambda_1}\) i \(\displaystyle{ \lambda_2}\). Tak czy owak, ostatecznie powinno wyjść

\(\displaystyle{ \int \limits_0^1 \phi(t) + t \phi'(t) \, \dd t}\),

co powinno Ci się skojarzyć z pochodną iloczynu.

\(\displaystyle{ \lambda}\) oczywiście miało być \(\displaystyle{ \gamma}\). Pomyliłem się w trakcie pisania. Rzeczywiście, postać \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \phi (t) + t\cdot \phi ' (t)}\) wygląda dość ładnie.

Dodano po 30 minutach 2 sekundach:
Okej, pomyliłem się w liczeniu całki. Rzeczywiście wychodzi \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \phi \left( t\right) + t \cdot \phi ' \left( t\right) }\). Dalej jak się liczy to wychodzi:
\(\displaystyle{ \left[ t \cdot \phi\left( t\right) \right]_{0}^{1} = 1-0=1 }\). Z tym, że w zadaniu jest pytanie dla jakich funkcji całka przyjmuje największą wartość. Ale wartość całki nie zależy od funkcji \(\displaystyle{ \phi}\), o ile tylko spełnia warunki zadania. Czy coś zrobiłem w takim razie źle, czy odpowiedź jest po prostu trywialna?

Wszystko jest dobrze - w tym zadaniu wartość całki wynosi \(\displaystyle{ 1}\) dla każdej funkcji \(\displaystyle{ \phi}\).

Najprościej hyba pokazać, że całka z tej formy nie zależy od drogi całkowania i policzyć całkę po odcinku `(0,0)-(1,0)`

Prościej niż z twierdzenia Stokesa? Wątpię.