Matematyka.pl

Zmienne losowe \(\displaystyle{ ξ}\) i \(\displaystyle{ η}\) mają łączną gęstość prawdopodobieństwa: \(\displaystyle{ f(x,y) = \begin{cases} \frac{4}{ \pi }, x>0,y>0,x^{2}+y^{2} \le 1 \\ 0, w p.p\end{cases}
}\)
Znaleźć rozkład zmiennej \(\displaystyle{ X=\frac{ξ^{2} }{ξ^{2} +η^{2}} }\).
Zaczynałem wychodząc od postaci dystrybuanty:
\(\displaystyle{ P(X \le t) = P( \frac{ξ^{2} }{ξ^{2} +η^{2}} \le t)=P(ξ^{2} \le t(ξ^{2} +η^{2}))=P(ξ^{2}-tξ^{2} \le tη^{2})=P(ξ^{2}(1-t) \le tη^{2})}\), w tym miejscu chciałem dzielić to przez \(\displaystyle{ (1-t)}\), jednak wydaje mi się, że nie mogę tego zrobić, bo nie wiem jakie jest t, więc nie wiem czy będę musiał zmieniać znak. Wiem iż zmienna X napewno jest dodatnia, więc dla \(\displaystyle{ t \in (0,1)}\) mam wartości dodatnie, ale już dla \(\displaystyle{ t>1}\) - ujemne. Nie do końca wiem też, w jaki sposób dobrze to następnie spierwiastkować. Proszę o pomoc.

Wystarczy rozważyć \(\displaystyle{ t\in(0,1)}\), ponieważ ten ułamek jest nieujemny, a ponadto w rzeczywistych \(\displaystyle{ \xi, \ \eta}\) jest zawsze \(\displaystyle{ \frac{\xi^{2}}{\xi^{2}+\eta^{2}}\le 1}\), tym bardziej nierówność \(\displaystyle{ \frac{\xi^{2}}{\xi^{2}+\eta^{2}}\le t}\) zajdzie dla \(\displaystyle{ t>1}\), czyli dla \(\displaystyle{ t\ge 1}\) ta dystrybuanta przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 1}\).

Czyli z tego wynika, że dalej otrzymuję \(\displaystyle{ P(0 \le ξ \le \sqrt{ \frac{t}{1-t} }η)}\), czyli \(\displaystyle{ P( ξ \le \sqrt{ \frac{t}{1-t} }η) - (1-P(ξ<0)) }\).
A z tego 1 składnik to \(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty } P( ξ \le \sqrt{ \frac{t}{1-t} }η|η=u)f_η(u)du= \int_{- \infty }^{ \infty } \int_{- \infty }^{\sqrt{ \frac{t}{1-t} }u} f_{ξ|η=u}(w)dwf_η(u)du }\) mam rację? Jeżeli tak, jak na tym przedziale wyznaczyć \(\displaystyle{ f_{ξ|η=u}(w)}\)?