Matematyka.pl

Udowodnić, że swobodny elektron nie może emitować fotonów.

Problem będzie z zachowaniem energii. Dla uproszczenia przyjmijmy, że przed emisją elektron spoczywa. Z zasady zachowania energii mielibyśmy:
\(\displaystyle{ mc^2=mc^2+E_{k, elektronu}+E_{fotonu}}\),
czyli:
\(\displaystyle{ 0=E_{k, elektronu}+E_{fotonu}}\).
Prawa strona jest zawsze dodatnia, zatem mamy sprzeczność.

Elektron swobodny nie podlega oddziaływaniom ale może posiadać prędkość i pęd. Dowód na to, że nie może emitować fotonów polega na pokazaniu, że równoczesne zachowanie energii i pędu prowadziłoby do sprzeczności.

Energia elektronu to \(\displaystyle{ \sqrt{m^2_0 c^4 + p^2 c^2} }\), energia fotonu \(\displaystyle{ \frac{h c}{\lambda}}\), pęd elektronu przed, \(\displaystyle{ p}\), pęd elektronu po, \(\displaystyle{ p'}\), pęd fotonu \(\displaystyle{ \frac{h}{\lambda} }\).

Energia musi byc zachowana \(\displaystyle{ \sqrt{m^2_0 c^4 + p'^2 c^2} + \frac{h c}{\lambda} = \sqrt{m^2_0 c^4 + p^2 c^2}}\).
Ped tez, \(\displaystyle{ p'+ \frac{h}{\lambda} =p}\).

Po podniesieniu do kwadratu:
\(\displaystyle{ m^2_0 c^4 + p'^2 c^2 + \frac{h^2 c^2}{\lambda^2} + \frac{2 h c}{\lambda}\sqrt{m^2_0 c^4 + p'^2 c^2} = m^2_0 c^4 + p^2 c^2}\),
\(\displaystyle{ p'^2+ \frac{h^2}{\lambda^2} + \frac{2p' h}{\lambda} = p^2}\).

I łącząc w jedno równanie:
\(\displaystyle{ p'^2 c^2 + \frac{h^2 c^2}{\lambda^2} + \frac{2 h c}{\lambda}\sqrt{m^2_0 c^4 + p'^2 c^2} = p'^2 c^2+ \frac{h^2 c^2}{\lambda^2} + \frac{2p' h c^2}{\lambda}}\)
\(\displaystyle{ \frac{2 h c}{\lambda}\sqrt{m^2_0 c^4 + p'^2 c^2} = \frac{2p' h c^2}{\lambda}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{m^2_0 c^4 + p'^2 c^2} = p' c}\)
\(\displaystyle{ m^2_0 c^4 + p'^2 c^2 = p'^2 c^2}\)
\(\displaystyle{ m^2_0 c^4 = 0}\)

Podobnie, korzystając z zasady zachowania energii i pędu - metodą nie wprost dochodząc do sprzeczności można pokazać, że elektron swobodny nie może przejąć całej energii padającego nań fotonu (nie może pochłonąć fotonu).