[Liga maturalna] Seria 4 (15.10.07r.-21.10.07r.), wyniki

Historia, regulamin, zadania i oceny Konkursów oraz Ligi prowadzonej na Forum.
Awatar użytkownika
bolo
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2470
Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BW
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 191 razy

[Liga maturalna] Seria 4 (15.10.07r.-21.10.07r.), wyniki

Post autor: bolo » 15 paź 2007, o 00:00


Na płaszczyźnie leży okrąg \(\displaystyle{ o}\) i prosta \(\displaystyle{ l,}\) która go nie przecina. Wykaż, że środki okręgów stycznych zarówno do \(\displaystyle{ l}\) jak i do \(\displaystyle{ o}\) (zewnętrznie) należą do pewnej paraboli.
Dany jest ciąg \(\displaystyle{ \left(c_{n}\right)}\) określony następująco:
\(\displaystyle{ c_{1}=\frac{a}{2}, \, c_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a+c_{n}^{2}\right),}\) przy czym \(\displaystyle{ 0}\)
Ostatnio zmieniony 23 paź 2007, o 17:52 przez bolo, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
bolo
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2470
Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BW
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 191 razy

[Liga maturalna] Seria 4 (15.10.07r.-21.10.07r.), wyniki

Post autor: bolo » 23 paź 2007, o 17:51

Tabela wyników:

\(\displaystyle{ \begin{array}{l|c|c|c|c|c}\hline\hline
\mbox{Nick} & \mbox{Zad. 1 (/5)} & \mbox{Zad. 2 (/5)} & \mbox{Zad. 3 (/5)} & \mbox{Zad. 4 (/5)} & \mbox{Suma (/20,\,(100\%))}\\
\hline
\mbox{*Kasia} & - & - & 5 & - & 5\mbox{pkt.}\,\,(25\%) \\
\mbox{altair3} & - & - & - & 4 & 4\mbox{pkt.}\,\,(20\%) \\
\mbox{luka52} & - & 3 & - & - & 3\mbox{pkt.}\,\,(15\%) \\
\mbox{robin5hood} & 4 & 3 & 5 & 5 & 17\mbox{pkt.}\,\,(85\%) \\
\mbox{Sylwek} & - & - & 5 & 5 & 10\mbox{pkt.}\,\,(50\%) \\
\mbox{Szemek} & - & - & - & 5 & 5\mbox{pkt.}\,\,(25\%) \\
\mbox{szydra} & 5 & 5 & 5 & 5 & 20\mbox{pkt.}\,\,(100\%) \\
\hline\hline\end{array}}\)



Wybrane nadesłane rozwiązania:
  1. Zadanie rozwiążemy wprowadzając układ współrzędnych.
    Niech prosta \(\displaystyle{ l}\) pokrywa się z osią \(\displaystyle{ OX}\), a współrzędne środka okręgu \(\displaystyle{ o}\) mają postać \(\displaystyle{ (0, y_{s})}\), gdzie \(\displaystyle{ y_{s}>0}\). Dodatkowo na osi \(\displaystyle{ OY}\) przyjmijmy jednostkę równą długości promienia okręgu \(\displaystyle{ o}\). Wówczas współrzędne \(\displaystyle{ (x, y)}\) środka okręgu stycznego do prostej \(\displaystyle{ l}\) oraz okręgu \(\displaystyle{ o}\) spełniają warunek:
    \(\displaystyle{ \sqrt{x^2+(y-y_{s})^2}=1+y}\)
    tzn. odległość środków rozważanych okręgów jest równa sumie długości ich promieni. Dalej mamy:
    \(\displaystyle{ x^2+y^2-2yy_{s}+y_{s}^2=1+2y+y^2}\)
    \(\displaystyle{ 2(y_{s}+1)y=x^2+y_{s}^2-1}\)
    \(\displaystyle{ y=\frac{x^2}{2(y_{s}+1)}+\frac{y_{s}-1}{2}}\)
    Wykazaliśmy, że współrzędne środków okręgów o żądanej własności spełniają równanie, które przedstawia parabolę, co dowodzi tezy.
  2. Wykażemy indukcyjnie, że \(\displaystyle{ c_{n}}\)

Zablokowany