Matematyka.pl

Witam.
Czy istnieje sposób na obliczenie całek typu:
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{(a^2+x^2)^{3\over2}} }\) bez podstawień trygonometrycznych?

Tak całkowanie różniczki dwumiennej

Tu działa taka fajna magia:

\(\displaystyle{ \blue{\int\frac{dx}{(a^2+x^2)^{1/2}}}=\int \frac{a^2+x^2}{(a^2+x^2)^{3/2}}dx=\red{\int \frac{a^2}{(a^2+x^2)^{3/2}}dx}+\int \frac{x^2}{(a^2+x^2)^{3/2}}dx= (*)}\)

Zajmiemy sie tą ostatnią całką: \begin{vmatrix}u=x& v'=\frac{x}{(a^2+x^2)^{3/2}}\\u'=1& v=-\frac{1}{(a^2+x^2)^{1/2}}\end{vmatrix}

\(\displaystyle{ (*)\ =\red{\int \frac{a^2}{(a^2+x^2)^{3/2}}dx}-\frac{x}{(a^2+x^2)^{1/2}}+\blue{\int\frac{dx}{(a^2+x^2)^{1/2}}}}\)

I teraz niebieskie znika (a raczej zostawia stałą), a czerwone się wylicza