podaj wszystkie liczby...

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
setto
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 93
Rejestracja: 14 paź 2007, o 20:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Czasoprzestrzeń Minkowskiego
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 12 razy

podaj wszystkie liczby...

Post autor: setto » 14 paź 2007, o 21:46

pierwsze p, dla ktorych istnieje liczba naturalna n taka, ze \(\displaystyle{ p+1=n^{5}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

podaj wszystkie liczby...

Post autor: Sylwek » 14 paź 2007, o 21:50

Skoro lewa strona jest zawsze dodatnia, to n musi być liczbą całkowitą dodatnią. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę dla piątych potęg:
\(\displaystyle{ p=n^5-1 \\ p=(n-1)(n^4+n^3+n^2+n+1)}\)

Jak widzimy drugi nawias jest zawsze większy lub równy 1, dlatego, żeby prawa strona była liczbą pierwszą, to n-1=1, czyli n=2.
\(\displaystyle{ p=2^5-1=31}\)

To jest jedyna liczba spełniająca warunki tego zadania.

Awatar użytkownika
setto
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 93
Rejestracja: 14 paź 2007, o 20:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Czasoprzestrzeń Minkowskiego
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 12 razy

podaj wszystkie liczby...

Post autor: setto » 14 paź 2007, o 21:52

rozumiem, dzieki

ODPOWIEDZ