NWD wykazywanie

[Hania_87]

Wykaż, że:
a) NWD(a,b) = NWD(a-kb,b); w szczególności NWD(a,b) = NWD(b, (a)b) o ile b ≠ 0.
b) a|c , b|c, NWD(a,b) = 1 -> ab|c.

[Piotr Rutkowski]

Co do b) wystarczy rozważyć rozkład na czynniki pierwsze wszystkich wyrazów
Co do a) natomiast to jest to po prostu algorytm Euklidesa.

[Hania_87]

Proszę o całościowe rozwiązanie

[Piotr Rutkowski]

\(\displaystyle{ a=p_{k_{1}}^{\alpha_{1}}p_{k_{2}}^{\alpha_{2}}...p_{k_{x}}^{\alpha_{x}}}\)
\(\displaystyle{ b=p_{l_{1}}^{\beta_{1}}p_{l_{2}}^{\beta_{2}}...p_{l_{y}}^{\beta_{y}}}\)
\(\displaystyle{ c=p_{m_{1}}^{\gamma_{1}}p_{m_{2}}^{\gamma_{2}}...p_{m_{z}}^{\gamma_{z}}}\)
Uff, jak się temu przypatrzysz, skoro:
\(\displaystyle{ a|c b|c}\) to wszystkie czynniki pierwsze a oraz b znajdują się także w c. Dalej:
\(\displaystyle{ NWD(a,b)=1 p_{k_{i}}\neq p_{l_{j}}}\).
Skoro tak, to w c znajdują się wszystkie dzielniki a oraz b, a żadne z nich się nie pokrywają, a więc...

[Hania_87]

Widzę to, to działanie jest dla mnie oczywiste. Moje pytanie brzmi: Jak tego dowieść, by było ok?
Tak od początku do końca.
b) c|ab^c|bc -> c|NWD(ab,bc) = b.