Matematyka.pl

Dzień dobry, proszę o pomoc, bo się pogubiłam.
Oblicz granicę funkcji w plus i minus nieskończoności. Dla plus nieskończoności ma wyjść nieskończoność, a dla minus nieskończoności zero.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} ( \sqrt{9x^{2}+1} +3x) =\lim_{x\to\infty} \frac{1}{ \sqrt{9x^{2}+1}-3x }=}\)
\(\displaystyle{ =\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x( \sqrt{9+ \frac{1}{x^{2}} }-1 )} }\)
No i to ma się nijak do nieskończoności... Ja tego nie rozumiem. Proszę o wyjaśnienie mi tych granic.

To przekształcenie, które zastosowałaś to po prostu odruch Pawlowa : widzę sumę pierwiastków, to stosuje wzorek.

Spróbuj najpierw pomyśleć. To nigdy nie zaszkodzi.

A jakbyś wywaliła tę część z pierwiastkiem, to jaka granica w \(\displaystyle{ +\infty}\) by wyszła?

Niepokonana pisze: 24 maja 2020, o 17:56\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} ( \sqrt{9x^{2}+1} +3x) =\lim_{x\to\infty} \frac{1}{ \sqrt{9x^{2}+1}-3x }=}\)
\(\displaystyle{ =\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x( \sqrt{9+ \frac{1}{x^{2}} }-1 )} }\)
No i to ma się nijak do nieskończoności... Ja tego nie rozumiem. Proszę o wyjaśnienie mi tych granic.

Licząc granicę w \(\displaystyle{ +\infty}\) niczego nie przekształcasz, bo w granicy

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} ( \sqrt{9x^{2}+1} +3x)}\)

masz sumę dwóch wyrażeń, z których każde dąży do \(\displaystyle{ +\infty}\), więc ich suma też dąży do \(\displaystyle{ +\infty}\).

Licząc granicę w \(\displaystyle{ -\infty}\) wykonujesz opisane przez Ciebie przekształcenie

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} ( \sqrt{9x^{2}+1} +3x) =\lim_{x\to\infty} \frac{1}{ \sqrt{9x^{2}+1}-3x }}\)

i liczysz granicę, która wynosi zero (bo w mianowniku masz sumę dwóch wyrażeń, z których każde dąży do \(\displaystyle{ +\infty}\), więc ich suma też dąży do \(\displaystyle{ +\infty}\)).

Natomiast nie jest prawdą, że

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{9x^{2}+1}-3x }=\frac{1}{x( \sqrt{9+ \frac{1}{x^{2}} }-1 )}}\).

JK

a4karo pisze: 24 maja 2020, o 17:59 To przekształcenie, które zastosowałaś to po prostu odruch Pawlowa : widzę sumę pierwiastków, to stosuje wzorek.

Spróbuj najpierw pomyśleć. To nigdy nie zaszkodzi.

No ja myślę, że jak mamy taki pierwiastek to on będzie co raz większy i \(\displaystyle{ 3x}\) też będzie co raz większe. Dlatego będą dążyć do nieskończoności. A dla minus nieskończoności mamy pierwiastek, który jest trochę większy od \(\displaystyle{ 3x}\). Będziemy zawsze mieli liczbę, która jest tylko trochę większa od zera i jest co raz mniejsza, dlatego zero jest granicą.

Panie a4karo, tych granic jest za dużo. W ciągach była tylko jedna granica, a teraz są granice w punktach ciągłości, nieciągłości, w nieskończoności... Ja już się pogubiłam i nie wiem, co do czego pasuje.
A poza tym myślenie boli.

Dodano po 2 minutach 15 sekundach:
Pan doktor napisał post, kiedy ja pisałam. Mimo wszystko dziękuję za pomoc. Dlaczego tych wszystkich granic jest tak dużo?

Nie wiem, czy zauważyłaś, ale w zasadzie nie ma dużej różnicy między granicami ciągów i granicami funkcji. Większość granic "ciągowych" możesz robić tak samo jak "funkcyjnych" (zamiast `n` napisz `x`)

Granic jest potworne mnóstwo, ale wiele z nich znajduje się korzystając za standardowych metod - a tych jest kilka (no, może kilkanaście).

Nie próbuj uczyć się KAŻDEJ granicy z osobna, bo to nie ma sensu. Ucz sie metod.

Z tej granicy powinnaś wyciągnąć dwa wnioski:
1. najpierw pomyśl, zobacz z jakiego typu wyrażeniem masz do czynienia, a dopiero potem używaj "sztuczek"
2. Po raz kolejny spotykasz się z faktem, że `\sqrt{x^2}\ne x`. Pora, aby to weszło w krew - nie powinno sie dwa razy popełniać tego samego błedu.

a4karo pisze: 24 maja 2020, o 18:47 Granic jest potworne mnóstwo, ale wiele z nich znajduje się korzystając za standardowych metod - a tych jest kilka (no, może kilkanaście).

Nie próbuj uczyć się KAŻDEJ granicy z osobna, bo to nie ma sensu. Ucz sie metod.

Panie a4karo nie rozumiem, o co chodzi z tym uczeniem się metod? Nie każdy jest tak mądry jak Pan. To wszystko nie jest łatwe i nauka tego wymaga czasu, ale ja to mam umieć na środę, nie wiem dlaczego.

Powiedz, czy jest jakaś różnica jakościowa między tymi zadaniami:

Oblicz granicę wyrażenia w nieskończoności
a `\sqrt{x^2+2}-\sqrt(x^2-1)`
b \(\sqrt[3]{x^6-2x^3+1}-x^2\)

metoda jest ta sama: zauważasz, że masz do czynienia z wyrażeniem nieoznaczonym typu \(\infty - \infty\), mnożysz przez sumę pierwiastków (chociaż ja akurat wolę zastosowac tw. Lagrange'a)

W granicach typu \(\displaystyle{ \sqrt[n]{7^n+2\cdot 4^n-2^n}}\) wyciągasz największą potęgę przed pierwiastek: to jest metoda. I działa niezaleznie od tego czy tam jest `7`, `2020` czy `e^\pi`

Ja nie stosuję tego twierdzenia, bo nie wiem, co to znaczy różniczkowalna w przedziale.

A skąd Pan wie, że nie można w tych przypadkach po prostu stwierdzić, że granicą funkcji jest zero?

Bo twoje zadanie to nie zgadnąć lecz obliczyć granicę.
A w drugim przypadku granica nie jest zero

Ale na samym początku wątku Pan mi się kazał przyjrzeć zamiast za szybko stosować wzory. Ja już się pogubiłam.

Bo ja się przyjrzałem i, zobaczyłem że mam symbol nieoznaczony. To znaczy, że muszę coś wykombinować.

I teraz dopiero stosuję któraś że znanych metod. A ty zaczęłaś od metody, mimo że nie było takiej potrzeby

Czyli mam po prostu najpierw sprawdzić symbol i się zastanowić co dalej?

Zasada ogólna jest taka: najpierw myślisz, potem robisz, nigdy na odwrót.

JK

Ale ja nie umiem myśleć, myślenie mi nie wychodzi. Dlaczego to wszystko jest takie trudne? Nie mogłoby być proste?