Matematyka.pl

Czy liczb naturalnych posiadających dokładnie trzy dzielniki naturalne jest nieskończenie wiele?

Tak. Każda liczba pierwsza podniesiona do kwadratu ma dokładnie \(\displaystyle{ 3}\) dzielniki naturalne, liczba pierwszych jest nieskończenie wiele.

Co więcej, między liczbami o trzech dzielnikach oraz kwadratami liczb pierwszych istnieje bijekcja. Wynika to z tego, że jeśli w rozkładzie \(n\) na czynniki pierwsze pojawiają się liczby pierwsze \(p_1, \ldots, p_m\), przy czym \(p_k\) pojawia się dokładnie \(a_k\) razy, to liczba \(n\) ma

\((1 + a_1) \cdot (1 + a_2) \cdot \ldots \cdot (1 + a_m)\)

dzielników. Żeby dostać trzy dzielniki, musimy mieć \(m = 1, a_1 = 2\), czyli właśnie \(n = p^2\) dla pewnego pierwszego \(p\).

Gosda pisze: ↑23 maja 2020, o 19:59 Co więcej, między liczbami o trzech dzielnikach oraz kwadratami liczb pierwszych istnieje bijekcja. Wynika to z tego, że ...

Istnienie bijekcji pomiędzy nieskończonym podzbiorem liczb naturalnych a innym nieskończonym podzbiorem liczb naturalnych nie jest zaskakujące. Istotne jest to, że omawianą własność (\(\displaystyle{ 3}\) dzielniki) mają jedynie kwadraty liczb pierwszych. Są to te same zbiory tylko zadane innym (z pozoru) warunkiem.

Hmh, tak, właśnie to miałem na myśli, tylko trochę źle ubrałem w słowa. Przepraszam. Chodziło mi oczywiście o to, że żadna inna liczba (niebędąca kwadratem pierwszej) nie ma tej własności: posiadania trzech dzielników.