Matematyka.pl

Dzień dobry, proszę o pomoc z prostym przykładem.
Oblicz granicę
\(\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty} ( \sqrt{x^{2}+3}+x)=\lim_{x\to -\infty} \frac{3}{ \sqrt{x^{2}+3}-x }=\lim_{x\to -\infty} \frac{3}{x \sqrt{1+ \frac{3}{x^{2}} }-1 } =?}\)
No i co teraz? Mam w liczniku pierwiastek, który dąży do jedynki i jedynki, która zeruje ten pierwiastek i mam z tego powodu dzielenie przez zero. Jak to naprawić?

Niepokonana pisze: 20 maja 2020, o 16:10
\(\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty} ( \sqrt{x^{2}+3}+x)=\lim_{x\to -\infty} \frac{3}{ \sqrt{x^{2}+3}-x }=\lim_{x\to -\infty} \frac{3}{x \sqrt{1+ \frac{3}{x^{2}} }-1 } =?}\)

Popraw błędy:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty} ( \sqrt{x^{2}+3}+x)=\lim_{x\to -\infty} \frac{3}{ \sqrt{x^{2}+3}-x }=\lim_{x\to -\infty} \frac{3}{\left| x \right| \sqrt{1+ \frac{3}{x^{2}} }-x } =....}\)

kerajs pisze: 20 maja 2020, o 16:27

Niepokonana pisze: 20 maja 2020, o 16:10
\(\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty} ( \sqrt{x^{2}+3}+x)=\lim_{x\to -\infty} \frac{3}{ \sqrt{x^{2}+3}-x }=\lim_{x\to -\infty} \frac{3}{x \sqrt{1+ \frac{3}{x^{2}} }-1 } =?}\)

Popraw błędy:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty} ( \sqrt{x^{2}+3}+x)=\lim_{x\to -\infty} \frac{3}{ \sqrt{x^{2}+3}-x }=\lim_{x\to -\infty} \frac{3}{\left| x \right| \sqrt{1+ \frac{3}{x^{2}} }-x } =....}\)

Dziękuję, mam jeszcze jedno pytanie.
Jak mamy \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \frac{x}{ \sqrt[3]{x} }}\) to to jest równe \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} x^{ \frac{2}{3} } }\)? I dlaczego dąży to do nieskończoności a nie do zera?

Niepokonana pisze: 20 maja 2020, o 16:54Jak mamy \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \frac{x}{ \sqrt[3]{x} }}\) to to jest równe \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} x^{ \frac{2}{3} } }\)?

Tak.

Niepokonana pisze: 20 maja 2020, o 16:54I dlaczego dąży to do nieskończoności a nie do zera?

Jeśli pytasz o intuicję, to oblicz wartość \(\displaystyle{ 1000000000^{\frac{2}{3}}}\). A jeśli o dowód, to spróbuj sama go przeprowadzić z definicji - to nietrudne.

Dasio11 pisze: 20 maja 2020, o 18:26

Niepokonana pisze: 20 maja 2020, o 16:54Jak mamy \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \frac{x}{ \sqrt[3]{x} }}\) to to jest równe \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} x^{ \frac{2}{3} } }\)?

Tak.

Niepokonana pisze: 20 maja 2020, o 16:54I dlaczego dąży to do nieskończoności a nie do zera?

Jeśli pytasz o intuicję, to oblicz wartość \(\displaystyle{ 1000000000^{\frac{2}{3}}}\). A jeśli o dowód, to spróbuj sama go przeprowadzić z definicji - to nietrudne.

A jakiej definicji użyć?

Niepokonana pisze: 20 maja 2020, o 19:34A jakiej definicji użyć?

Definicji rozbieżności funkcji do \(\displaystyle{ +\infty}\).

JK

edit: ciągu \(\displaystyle{ \rightarrow }\) funkcji

Ale ja chcę udowodnić, że ta konkretna funkcja czyli jakiś iks podniesiony do potęgi zawierającej się między zerem a jedynką jest funkcją mającą granicę w nieskończoności. Jak to ma się jedno do drugiego?

Pewnie chodziło o rozbieżność funkcji do nieskończoności. Gdy granica funkcji wynosi \(\displaystyle{ +\infty}\), to mówi się też, że funkcja jest rozbieżna do \(\displaystyle{ +\infty}\).

matmatmm pisze: 20 maja 2020, o 20:46Pewnie chodziło o rozbieżność funkcji do nieskończoności.

Tak, tak, chodziło mi o funkcję.

JK