Matematyka.pl

Proszę o pomoc w poniższym zadaniu. Umiem rozwijać funkcje w szereg Fouriera, jednak nie wiem jak w tym przypadku podejść do tego zadania.

Funkcję \(\displaystyle{ f:(0, \pi) \rightarrow \mathbb{R}}\) daną wzorem:

1) \(\displaystyle{ f(x)=1}\)

2) \(\displaystyle{ f(x) = \frac{\pi - x}{2}}\)

3) \(\displaystyle{ f(x) = x^2}\)

przedstawić w postaci

a) szeregu trygonometrycznego sinusów
b) szeregu trygonometrycznego cosinusów
c) szeregu trygonometrycznego mieszanego (sinusów i cosinusów)

Zadanie 1

a)
Przedłużamy funkcję \(\displaystyle{ f }\) nieparzyście

\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} -1, \ \ -\pi \leq x <0 \\ 1, \ \ 0 \leq x < \pi \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ f(x) = f(x +2\pi), \ \ L = \pi. }\)

\(\displaystyle{ b_{n} = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin\left( \frac{n\pi}{L}\right) dx }\)

\(\displaystyle{ b_{n} = \frac{1}{\pi} \left[ \int_{-\pi}^{0} -\sin(nx)dx + \int_{0}^{\pi} \sin(nx) dx \right] = \frac{1}{\pi} \left( \left[ \frac{\cos(nt)}{n} \right]_{-\pi}^{0} + \left[ \frac{-\cos(nt)}{n} \right]_{0}^{\pi} \right) }\)

\(\displaystyle{ b_{n}= \frac{1}{n\pi} \left ( \cos(0) - \cos(-n \pi) - \cos(n\pi)+ \cos(0) \right) = \frac{2}{n\pi}\left[1 -\cos(n\pi) \right] = \begin{cases} \frac{4}{n\pi} \ \ \mbox{gdy,} \ \ n \in NPAR \\ 0 \ \ \mbox{gdy,} \ \ n \in PAR \end{cases} }\)

Te dwa przypadki wartości współczynnika \(\displaystyle{ b_{n} }\) możemy zapisać jako

\(\displaystyle{ b_{n} = \frac{4}{\pi(2n-1)}, \ \ n =1,2,... }\)

Rozwinięcie funkcji \(\displaystyle{ f }\) w szereg sinusów

\(\displaystyle{ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\sin(nx) }\)

\(\displaystyle{ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin[(2n-1)x]}{2n -1}.}\)

b)
Przedłużamy funkcję \(\displaystyle{ f }\) parzyście i rozwijamy w szereg trygonometryczny Fouriera według kosinusów.

c)
Przedłużamy funkcję \(\displaystyle{ f }\) parzyście i nieparzyście i rozwijamy w szereg trygonometryczny Fouriera - mieszany (według sinusów i kosinusów).