żS-3, od: *Kasia, zadanie 2

Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

żS-3, od: *Kasia, zadanie 2

Post autor: Liga » 14 paź 2007, o 20:22

*Kasia pisze:Wykaż metodą indukcji, że dla \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\) liczba \(\displaystyle{ m_n=3^{2n+1}+40n-67}\) jest podzielna przez 64. Potem uzasadnij, że gdy \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste, to \(\displaystyle{ m_n}\) dzieli się przez 5.

Rozwiązanie:
Najpierw sprawdzenie dla \(\displaystyle{ n=0}\):
\(\displaystyle{ m_n=3^{2\cdot 0+1}+40\cdot 0-67=3^1-67=-64}\)
Czyli dla \(\displaystyle{ n=0}\) \(\displaystyle{ 64|m_n}\).

Załóżmy, że dla pewnego ustalonego \(\displaystyle{ k\in\mathbb{N}}\) \(\displaystyle{ 64|m_k\qquad m_k=3^{2k+1}+40k-67}\). Na tej podstawie udowodnijmy, że \(\displaystyle{ 64|m_{k+1}}\).
\(\displaystyle{ m_{k+1}=3^{2k+3}+40k+40-67=9\cdot 3^{2k+1}+40k+8\cdot 5-67=8\cdot (3^{2k+1}+5)+3^{2k+1}+40k-67}\)
Ponieważ wiemy, że \(\displaystyle{ 64|(3^{2k+1}+40k-67)}\), to aby udowodnić, że \(\displaystyle{ 64|m_{k+1}}\) wystarczy dowieść, że \(\displaystyle{ 64|(8\cdot (3^{2k+1}+5))}\).
Ponieważ jeden z czynników wynosi \(\displaystyle{ 8}\), to aby iloczyn (\(\displaystyle{ 8\cdot(3^{2k+1}+5)}\) ) był podzielny przez \(\displaystyle{ 64}\), to drugi czynnik musi być wielokrotnością 8. Czyli aby udowodnić, że\(\displaystyle{ 64|m_{k+1}}\)m wystarczy wykazać, że \(\displaystyle{ 8|(3^{2k+1}+5)}\).
\(\displaystyle{ 3^2\equiv 1\ (mod\ 8)\qquad ||()^k\\
3^{2k}\equiv 1^k\equiv 1\ (mod\ 8)\\
3^{2k}\cdot 3\equiv 1\cdot 3\ (mod\ 8)\\
3^{2k+1}+5\equiv 3+5\equiv 0\ (mod\ 8)}\)

Zatem \(\displaystyle{ 64|m_{n+1}}\)
Na mocy własności indukcji, podana zależność jest prawdziwa dla każdego \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\). c.k.d.

Pozostaje teraz do udowodnienia, że dla nieparzystego \(\displaystyle{ n}\) liczba \(\displaystyle{ m_n}\) jest podzielna przez 5.
Podstawmy \(\displaystyle{ n=2w+1}\), gdzie \(\displaystyle{ w\in\mathbb{N}}\).
\(\displaystyle{ m_w=3^{4w+3}+40(2w+1)-67}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ 5|(40(2w+1))}\), wystarczy udowodnić, że \(\displaystyle{ 5|(3^{4w+3}-67)}\)
\(\displaystyle{ 3^2\equiv(-1)\ (mod\ 5)\\
3^4\equiv(-1)^2\equiv 1\ mod\ 5)\\
3^{4w}\equiv 1\ (mod\ 5)\\
3^{4w}\cdot 3^3\equiv 27\ (mod\ 5)\\
3^{4w+3}-67\equiv 27-67\equiv 0\ (mod\ 5)}\)

Jest to równoważne \(\displaystyle{ 5|m_n}\) dla każdego nieparzystego \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\). c.k.d.
Ostatnio zmieniony 17 paź 2007, o 00:15 przez Liga, łącznie zmieniany 2 razy.

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

żS-3, od: *Kasia, zadanie 2

Post autor: scyth » 15 paź 2007, o 00:31

5/5

ODPOWIEDZ