Matematyka.pl

Obliczyć \(\displaystyle{ \iint (z-1)^2 dS }\) gdzie \(\displaystyle{ S}\) jest powierzchnią stożka o wierzchołku \(\displaystyle{ (0,0,1)}\) i podstawie, która jest kołem \(\displaystyle{ x^2+y^2 \leq 1}\) w płaszczyźnie \(\displaystyle{ OXY}\).

Można poprzecinać ten stożek płaszczyznami równoległymi do płaszczyzny \(\displaystyle{ OXY}\), grubość każdej warstwy \(\displaystyle{ \dd z}\), powierzchnia boczna nachylona jest pod kątem \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\), więc mamy element powierzchni \(\displaystyle{ \dd S=\sqrt{2}\dd z\cdot 2\pi(1-z)}\).

\(\displaystyle{ I_1=\int_0^1 (z-1)^2\sqrt{2} 2\pi(1-z)\dd z=-2\sqrt{2}\pi\int_0^1(z-1)^3\dd z=-\frac{\sqrt{2}}{2}\pi}\).

To było po powierzchni bocznej, całkowanie po podstawie to mnożenie \(\displaystyle{ \left( (z-1)^2\cdot \pi \ 1^2 \right) _{z=0}=\pi }\).

\(\displaystyle{ \iint (z-1)^2 dS=I_1+I_2=\pi\left( 1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) }\)

Czy ta ujemna wartość całki z dodatniej funkcji nie wywołuje refleksji?

pkrwczn pisze: ↑29 lis 2020, o 06:37 ...

\(\displaystyle{ I_1=\int_0^1 (z-1)^2\sqrt{2} 2\pi(1-z)\dd z=-2\sqrt{2}\pi\int_0^1(z-1)^3\dd z=\color{red}{-\frac{\sqrt{2}}{2}\pi}}\).

Powinno być \(\displaystyle{ I_1=\frac{\sqrt{2}}{2}\pi}\).

...

\(\displaystyle{ \iint (z-1)^2 dS=I_1+I_2=\color{red}{\pi\left( 1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)} }\)

Powinno być \(\displaystyle{ \iint (z-1)^2 dS=I_1+I_2=\pi\left( 1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}\).

Chyba.